Đáp án:

 a) Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAHF vuông tại H có:

AH chung

góc HAE = góc HAF( AH là phân giác của góc BAC)

=> ΔAHE = ΔAHF( cgv-gnk)

=> EH = FH

b)Ta có: ΔAHE = ΔAHF

=> góc AEH = góc AFH

Lại có: góc BME = góc CMF( đối đỉnh)

Xét ΔMEB có

góc AEH = góc BME + góc ABC

hay: góc AFH = góc BME + góc ABC

Xét ΔMCF có

góc ACB = góc CMF + góc AFH

hay: góc ACB = góc BME + góc BME + góc ABC

=> góc ACB = 2 góc BME + góc ABC

=> 2 góc BME = góc ACB - góc ABC

c) Xét Δ AHE vuông tại H có:

$\begin{array}{l}
E{H^2} + A{H^2} = A{E^2}(Pytago)\\
hay:{\left( {\frac{{FE}}{2}} \right)^2} + A{H^2} = A{E^2}\\
 \Rightarrow \frac{{F{E^2}}}{4} + A{H^2} = A{E^2}
\end{array}$

d) Kẻ BN // AC, BN ∩ EF tại N

=> góc CFM = góc BNM

Ta có: ΔAHE = ΔAHF

=> góc AEH = góc CFM = góc NEB = góc BNM

hay: góc NEB = góc BNM

=> ΔBEN cân tại B

=> BE = BN

Xét ΔMCF và ΔMBN có

góc CMF = góc BMN

CM = BM

góc CFM = góc BNM

=> ΔMCF = ΔMBN(g-c-g)

=> CF = BN

mà BE = BN

=>BE = CF