Đáp án + Giải thích các bước giải:

`x^2 + 2(m+1)x + 2m + 1=0 (**)`

`a)` Thay `x=-3` vào phương trình trên, ta được:
`(-3)^2 + 2(m+1)(-3) + 2m + 1=0`

`<=> 9 -6(m+1) + 2m +1=0`

`<=> 9- 6m - 6 + 2m +1=0`

`<=> -4m + 4=0`

`<=> -4m = -4`

`<=> m = 1`

Vậy để phương trình có `1` nghiệm bằng `-3` thì `m=1`

Thay `m=1` vào phương trình `(**),` ta được:

`x^2 + 2(1 +1)x + 2.1 +1=0`

`<=> x^2 + 4x + 3=0`

Có `a-b+c = 1-4+3 = 0`

`=> x_1 = -1`

`x_2 = -3`

Vậy nghiệm còn lại là `-1`

`b)` Để phương trình `(**)` có hai nghiệm:

`<=> \Delta' >= 0`

`<=> (m+1)^2 - (2m + 1) >= 0`

`<=> m^2 + 2m + 1 - 2m -1 >= 0`

`<=> m^2 >= 0` (Luôn đúng)

Vậy với mọi giá trị thì phương trình `(**)` luôn có hai nghiệm.

Theo Vi - ét: $\begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = -2m -1\\\\x_1.x_2 = \dfrac{c}{a} = 2m +1 \end{cases}$

Ta có: `x_1^2 + x_2^2 = 2`

`<=> x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 =2`

`<=> (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2`

`<=> (- 2m -1)^2 - 2(2m +1)=2`

`<=> 4m^2 + 4m + 1 - 4m -2-2=0`

`<=> 4m^2 -3=0`

`<=> 4m^2 = 3`

`<=> m^2 = 3/4`

`<=> m = +- \sqrt{3/4}`

`<=> m = +- {\sqrt{3}}/2`

Vậy `m= {\sqrt{3}}/2` hoặc `m= - {\sqrt{3}}/2` thỏa yêu cầu đề bài.

`#Lynk#`

`a)` Do pt có `1` nghiệm bằng `- 3` nên ta có : 

`( - 3 )² + 2 ( m + 1 ).(-3) + 2m + 1 = 0`

`⇔ 9 - 6m - 6 + 2m + 1 = 0`

`⇔ - 4m + 4 = 0`

`⇔ 4m = 4`

`⇔ m = 1`

Thay `m = 1` vào pt ta có :

`⇒ x² + 2 ( 1 + 1 )x + 2.1 + 1 =0`

`⇔ x² + 4x + 3 = 0`

`⇔` $\left[\begin{matrix} x=-3\\ x=-1\end{matrix}\right.$

Vậy nghiệm còn lại `x = - 1`

`b)` Để pt có `2` nghiệm phân biệt thì $\Delta$`' > 0`

`⇔ ( m + 1 )² - ( 2m + 1 ) > 0`

`⇔ m² > 0 ∀m`

Theo viet ta có : $\begin{cases} x1+x2=-2m-2\\x1x2 = 2m + 1\\\end{cases}$

Ta có : $x_{1}$`² +` $x_{2}$ `² = 2`

`⇔ (` $x_{1}$ `+` $x_{2}$ `)² - 2`$x_{1}$$x_{2}$ `= 2`

`⇒ ( - 2m - 2 )² - 2 ( 2m + 1 ) = 2`

`⇔ 4m² + 4m + 2 = 2`

`⇔ 4m² + 4m = 0`

`⇔ 4m ( m + 1 ) = 0`

`⇔` $\left[\begin{matrix} m=0\\ m=-1\end{matrix}\right.$

Vậy...