Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BMchung\\
\widehat {ABM} = \widehat {KBM} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABK}\\
BA = BK
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABM = \Delta KBM\left( {c.g.c} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABM = \Delta KBM\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM = KM\\
\widehat {BAM} = \widehat {BKM} \Rightarrow \widehat {BKM} = {90^0}
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MKC} = \widehat {MAE} = {90^0}\\
MK = MA\\
\widehat {CMK} = \widehat {EMA}\left( {dd} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta MCK = \Delta MEA\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow MC = ME
\end{array}$

$ \Rightarrow \Delta MEC$ cân ở $M$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {CAB} = \widehat {EKB} = {90^0}\\
AB = KB\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta CAB = \Delta EKB\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow CB = EB
\end{array}$

$ \Rightarrow \Delta BEC$ cân ở $B$$(1)$

Mà: 

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};\widehat {ACB} = {30^0}\\
 \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0}\\
 \Rightarrow \widehat {CBE} = {60^0}\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $(1),(2)$$ \Rightarrow \Delta BEC$ đều.

d) Ta có:

$\Delta BEC$ đều có $CA\bot BE=A$ $\to A$ là trung điểm của $BE$ $\to AE=AB$

$BC=BE$

$\to BK+CK=2BA$

$\to CK=BA$ (do $BK=BA$)

Mà $\Delta ABK$ có $BA=BK;\widehat{B}=60^0$

$\to \Delta ABK$ đều $\to AK=AB$

Nên $AK=CK=AB(3)$

Lại có:

$\Delta ENA$ có $AN//BC(\bot EK)$ nên $\widehat{ENA}=\widehat{ECB};\widehat{EAN}=\widehat{EBC}=60^0$

$\to \Delta ENA$ đều.

$\to AN=EN=EA$

$\to EN=\dfrac{1}{2}EC$

$\to CN=AN=AE(4)$

Từ $(3),(4)$$\to CN=CK;AN=AK$

$\to AC$ là trung trực của $KN$

$\to KN\bot AC$