a) thời gian vận động viên thứ nhất chạy nửa quãng đường đầu là

     `t_1` = `S/2` : `v_1` = `S/2` : `12` = `S/24`

thời gian vận đọng viên thứ nhất chạy nửa quãng đường sau là

    `t_2` = `S/2` : `v_2` = `S/2` : `8` = `S/16`

vận tốc trung bình vận động viên thứ nhất là

   `v_(tb1)` = `S/(t_1 + t_2)` = `S/(S/24 + S/16)` = `1/(1/24 + 1/16)` = `9,6`(km/h)

   đổi `8` m/s = `28,8`km/h

quãng đường vận động viên thứ 2 chạy nửa thời gian đầu là

   `S_1` = `v_1` · `t/2` = `28,8` · `t/2` = `(28,8t)/2` = `14,4t` 

quãng đường vận động viên thứ 2 chạy nửa thời gian còn lại là

  `S_2` = `v_2` · `t/2` = `12` · `t/2` = `(12t)/2` = `6t`

vận tốc trung bình vận động viên thứ 2 là

  `v_(tb2)` = `(S_1 + S_2)/t` = `(14,4t + 6t)/t` = `20,4`(km/h)

vì `v_(tb2)` > `v_(tb1)` nên vận động viên thứ 2 về đích trc

b) đổi `20,4` km/h = `17/3`m/s

         `9,6` km/h = `8/3`m/s

ta có `S/v_(tb1)` `-` `S/v_(tb2)` = `2`

      ⇒ `S/(8/3)` `-` `S/(17/3)` = `2`

      ⇒ `(3S)/8` `-` `(3S)/17` = `2`

      ⇒ `(51S)/136` `-` `(24S)/136` = `2`

      ⇒ `(27S)/136` = `2`

      ⇒ `27S` = `272`

      ⇒ `S` `≈` `10,074(m)`

     $\textit{Tóm tắt:}$

$\text{$v_1$ = 12 $km/h$}$

$\text{$v_2$ = 8 $km/h$}$

$\text{$v_3$ = 8 $m/s$ = 28,8 $km/h$}$

$\underline{t_h=2s\space}$

$a/$ So sánh $v_{tb_1}$ và $v_{tb_2}$? (Vận tốc nào lớn hơn thì người chạy với vận tốc đó về đích trước)

$\text{$b/$ $S$ = ? $km$}$

                     $\textit{Giải:}$

$a/$ Vận tốc trung bình của người thứ nhất là:

$\text{$v_{tb_1}$ = $\dfrac{S}{t_1}$}$

       $=\dfrac{S_1+S_2}{t_1' + t_1''}$

       $=\dfrac{S_1+S_1}{\dfrac{S_1}{v_1}+\dfrac{S_2}{v_2}}$

       $=\dfrac{2S_1}{\dfrac{S_1}{v_1}+\dfrac{S_1}{v_2}}$

       $=\dfrac{2S_1}{\dfrac{S_1(v_1+v_2)}{v_1v_2}}$

       $=\dfrac{2}{v_1+v_2}.v_1v_2$

       $=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}= \dfrac{2.12.8}{12+8} = 9,6$ $(km/h)$

     Vận tốc trung bình của người thứ hai là:

$\text{$v_{tb_2}$ = $\dfrac{S}{t_2}$}$

       $=\dfrac{t_2'v_3 + t_2''v_1}{t_2'+t_2''}$

       $=\dfrac{t_2'v_3 + t_2'v_1}{t_2'+t_2'}$

       $=\dfrac{t_2'(v_3 + v_1)}{2t_2'}$

       $=\dfrac{v_3 + v_1}{2}= \dfrac{28,8 + 12}{2} = 20,4$ $(km/h)$

Vì $v_{tb_1}$ $<$ $v_{tb_2}$ $(9,6\space km/h < 20,4\space km/h)$ nên người thứ hai về đích trước

Vậy người thứ hai về đích trước

$b/$ $v_{tb_1}$ $<$ $v_{tb_2}$

nên $t_1>t_2$

(Đổi $v_{tb_1}=9,6\space(km/h) = \dfrac{8}{3}\space(m/s)$

$v_{tb_2}=20,4\space(km/h) = \dfrac{17}{3}\space(m/s)$)

Ta có: $t_h=t_1-t_2$

$⇔ 2 = \dfrac{S}{v_{tb_1}}- \dfrac{S}{v_{tb_2}}$

$⇔\dfrac{S(v_{tb_2}-v_{tb_1})}{v_{tb_1}.v_{tb_2}}= 2$

$⇔S=\dfrac{2v_{tb_1}v_{tb_2}}{v_{tb_2}-v_{tb_1}} = \dfrac{2.\dfrac{8}{3}.\dfrac{17}{3}}{\dfrac{17}{3}-\dfrac{8}{3}}$ $=\dfrac{272}{27}\approx10,07$ $(m)$

Vậy độ dài quãng đường là khoảng $10,07$ $m$

*die=))