Đáp án + Giải thích các bước giải:

Nhìn đề thì ta cũng biết phải thêm hệ số $x;y;z$ ứng với $4a^2;6b^2;3c^2$ để dùng Cauchy rồi.

Nếu thêm như vậy thì ta sẽ có:

$4a^2+6b^2+3c^2$

`=4a^2+x+6b^2+y+3c^2+z-(x+y+z)`

`\ge4\sqrt{x}a+2\sqrt{6y}.b+2\sqrt{3z}-(x+y+z)`

Đến đây thì ta thấy vấn đề là cần các hệ số $4\sqrt{x};2\sqrt{6y};2\sqrt{3z}$ bằng nhau để có thể dùng giả thiết $a+b+c=3$.

Do đó ta có được $4\sqrt{x}=2\sqrt{6y}=2\sqrt{3z}$, giờ từ đây rồi tìm hệ số đẹp là giải được thôi (hệ số xấu cũng giải được :v)

Lời giải:

Ta có: $4a^2+6b^2+3c^2$

`=4a^2+4+6b^2+8/3+3c^2+16/3-12`

`\ge2\sqrt{4a^2. 4}+2\sqrt{6b^2. 8/3}+2\sqrt{3c^2. 16/3}-12` (Cauchy)

`=8a+8b+8c-12`

`=8.3-12=12`

Dấu $"="$ xảy ra khi `a=1;b=2/3;c=4/3`

Vậy GTNN của biểu thức là $12$ khi `a=1;b=2/3;c=4/3`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

`(4a^2+6b^2+3c^2)(1/4+1/6+1/3)>=(a+b+c)^2`

`=>3/4 . (4a^2+6b^2+3c^2) >=3^2=9`

`=>4a^2+6b^2+3c^2 >=12`

Dấu `=` xảy ra `<=>a=1 , b=2/3 , c=4/3`