Đáp án + giải thích các bước giải:

Để giải bài này thì ta cần dùng đến bất đẳng thức Cô-si dạng `\sqrt{ab}<=1/2(a+b)` (này bản năng thôi, nhìn thấy tích hai căn mà)

Nếu chung ta Cô-si bình thường thì:

`P=\sqrt{a/(a+b) . a/(a+c)}+2\sqrt{b/(b+c).b/(b+a)}+\sqrt{c/(c+a).c/(c+b)}`

`<=1/2(a/(a+b)+a/(a+c))+b/(b+c)+b/(b+a)+1/2(c/(c+a)+c/(c+b))`

Bạn cộng lại nó sẽ chẳng ra cái gì cả, lấy ví dụ `1/2 a/(a+b)+b/(b+a)` không triệt tiêu được, vì `a/(a+b)` chỉ bằng một nửa của `b/(b+a)`. Vậy điều dễ hiểu là cần làm nó gấp đôi `a/(a+b)` lên. Đồng thời cũng gấp đôi `c/(b+c)` lên (chú ý mẫu phân thức ở giữa, khi Cô-si tách ra thì nó có `b/(b+c)` ứng với `c/(b+c)` và `b/(b+a)` ứng với `a/(a+b)` nên cần cân bằng những cái để nó bằng cái phân thức ở giữa) Vậy chúng ta sẽ viết lại `P` dưới dạng sau:

`P=\sqrt{(2a)/(a+b) . a/(2(a+c))}+2\sqrt{b/(b+c).b/(b+a)}+\sqrt{(2c)/(c+b).c/(2(c+a))}`

`<=1/2((2a)/(a+b)+a/(2(a+c)))+b/(b+c)+b/(b+a)+1/2((2c)/(c+b)+c/(2(c+a)))`

`=a/(a+b)+a/(4(a+c))+b/(b+c)+b/(b+a)+c/(c+b)+c/(4(c+a))`

`=a/(a+b)+b/(b+a)+b/(b+c)+c/(c+b)+a/(4(a+c))+c/(4(c+a))`

`=1+1+1/4`

`=9/4`

Dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases} \dfrac{(2a)}{(a+b)}=\dfrac{a}{2(a+c)}\\\dfrac{b}{b+c}=\dfrac{b}{b+a}\\\dfrac{2c}{c+b}=\dfrac{c}{2(c+a)}\end{cases}\\\to a=c=\dfrac{b}{7}$