Giải thích các bước giải:

Giả thiết: 

$\Delta ABC, AB<AC, AK\perp BC, K\in BC$

$D, E, F$ là trung điểm $AB, AC, BC$

$H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$M, N, P$ là trung điểm $HA, HB, HC$

Kết luận:

a. $BDEF$ là hình gì

b. $DEFK$ là hình thang cân

c.  $MF=NE=PD$ và $MF, NE, PD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

Bài làm:

a.Ta có: $D, E$ là trung điểm $AB, AC$

$\to DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to DE//BC, DE=\dfrac12BC$

Vì $F$ là trung điểm $BC$

$\to DE//BF, DE=BF(=\dfrac12BC)$

$\to BDEF$ là hình bình hành

b.Vì $BDEF$ là hình bình hành $\to EF//AB$

Ta có: $\Delta AKB$ vuông tại $K, D$ là trung điểm $AB$

$\to DK=DA=DB=\dfrac12AB$

$\to \Delta DKB$ cân tại $D$

$\to \widehat{KDE}=\widehat{DKB}=\widehat{DBK}=\widehat{EFC}=\widehat{DEF}$

Mà $DE//KF$

$\to DEFK$ là hình thang cân

c.Ta có: $D, N$ là trung điểm $BA, BH\to DN$ là đường trung bình $\Delta ABH$

$\to DN//AH$

Tương tự chứng minh được $EP//AH, NP//BC$

$\to DE//NP(//BC), DH//PE(//AH)$

$\to DEPN$ là hình bình hành

Mà $AH\perp BC\to DN\perp DE$

$\to DEPN$ là hình chữ nhật

$\to DP=NE, DP\cap NE$ tại trung điểm mỗi đoạn

Tương tự $DMPF$ là hình chữ nhật

$\to MF=DP, MF\cap DP$ tại trung điểm mỗi đoạn

$\to DP=NE=MF$ và $MF, DP, NE$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn