Đáp án:

$b)\quad a = -\dfrac{11}{6}$

$c)\quad 0 < x < 2$

Giải thích các bước giải:

b) $f(x)= \begin{cases}\dfrac{\sqrt{2x+1} -\sqrt{x+5}}{x-4}\quad khi\quad x\ne 4\\a+2\qquad \qquad\qquad\quad khi\quad x = 4\end{cases}$

Ta có:

$+)\quad f(4)= a + 2$

$+)\quad \lim\limits_{x\to 4}f(x)$

$= \lim\limits_{x\to 4}\dfrac{\sqrt{2x+1} -\sqrt{x+5}}{x-4}$

$= \lim\limits_{x\to 4}\dfrac{2x +1 - (x+5)}{(x-4)\left(\sqrt{2x+1} +\sqrt{x+5}\right)}$

$= \lim\limits_{x\to 4}\dfrac{1}{\sqrt{2x+1} +\sqrt{x+5}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{2.4 +1} + \sqrt{4 + 5}}$

$=\dfrac16$

Hàm số liên tục tại $x = 4$

$\Leftrightarrow f(4)= \lim\limits_{x\to 4}f(x)$

$\Leftrightarrow a + 2 = \dfrac16$

$\Leftrightarrow a = -\dfrac{11}{6}$

c) $(m^4 + m +1)x^{2021} + x^5 - 32 = 0$

Đặt $f(x) = (m^4 + m +1)x^{2021} + x^5 - 32$

$TXĐ: D =\Bbb R$

Hàm số liên tục trên $\Bbb R$

$f(0) = - 32 < 0$

$f(2) = 2^{2021}(m^4 + m + 1) > 0\quad \forall m$

$\Rightarrow f(0).f(2) < 0$

Dựa vào tính liên tục của hàm số

$\Rightarrow f(x) =0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0;2)$

hay phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

b,

$f(4)=a+2$

$\lim\limits_{x\to 4}f(x)=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{ \sqrt{2x+1}-3+3-\sqrt{x+5} }{x-4}$

$=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{ \dfrac{2x+1-9}{\sqrt{2x+1}+3}+\dfrac{9-x-5}{3+\sqrt{x+5}} }{x-4}$

$=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+3}-\dfrac{1}{3+\sqrt{x+5}}$

$=\dfrac{2}{3+3}-\dfrac{1}{3+3}$

$=\dfrac{1}{6}$

Để $f(x)$ liên tục tại $x=4$:

$a+2=\dfrac{1}{6}$

$\to a=-\dfrac{11}{6}$

c,

Hàm số $f(x)=(m^4+m+1)x^{2021}+x^5-32$ liên tục trên $\mathbb{R}$

$\to f(x)$ liên tục trên $[0;2]$

$f(0)=-32<0$

$f(2)=2^{2021}(m^4+m+1)+2^5-32$

$=2^{2021}(m.m^3+m+1)>0$

$\to f(0).f(2)<0$

$\to f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0;2)$

Vậy phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm dương.