Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABE, \Delta BCE$ có: 

Chung $\hat E$

$\widehat{ECB}=\widehat{EBA}(=90^o)$

$\to\Delta ECB\sim\Delta EBA(g.g)$

b.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC\to BC\perp AE$

Mà $AB\perp BE$

$\to AB^2=AC.AE$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự $AB^2=AD.AF$

$\to AC.AE=AD.AF$

c.Xét $\Delta ACD, \Delta AEF$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AD}{AE}$ vì $AC.AE=AD.AF$

$\to \Delta ACD\sim\Delta AFE(c.g.c)$

$\to \widehat{ADC}=\widehat{AEF}\to CDFE$ nội tiếp

d.Để $CF\perp Bx\to CF//AB$

$\to \widehat{CFA}=\widehat{FAB}=\widehat{FAC}$ vì $D$ nằm giữa cung $CB$

$\to CF=CA$

Kẻ $CH\perp AB$

Do $AB\perp BE, CF\perp BE\to CHBF$ là hình chữ nhật

$\to HB=CF=CA$

Mà $\Delta CHA\sim\Delta BHC(g.g)$

$\to \dfrac{CA}{BC}=\dfrac{CH}{BH}$

$\to CA.BH=BC.CH$

$\to CA^2=BC.CH$

$\to CA^4=BC^2.HC^2$

$\to CA^4=BC^2.HA.HB$

$\to CA^4=BC^2.HA.CA$

$\to CA^3=BC^2.HA$

$\to CA^2.CA=BC^2.HA$

$\to AH.AB.CA=BC^2.HA$

$\to AB.CA=BC^2$

$\to AB.CA=AB^2-CA^2$

$\to AC^2+AB.AC-AB^2=0$

$\to AC^2+2R.AC-4R^2=0$

$\to AC=(-1+\sqrt{5})R$