Lời giải:

Ta có:

$DE//BC\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{ABC} = \widehat{AED} = \widehat{ACB} = 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle ADE$ đều

Ta lại có:

$G$ là trọng tâm $\triangle ADE$

$\Rightarrow \begin{cases}GD = GE\\\widehat{DGE} = 120^\circ\end{cases}$

Từ $C$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $DE$ tại $F$

Xét tứ giác $BCFD$ có:

$DF//BC\quad (DE//BC)$

$BD//CF$ (cách dựng)

Do đó $BCFD$ là hình bình hành

$\Rightarrow BF,CD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà $I$ là trung điểm $CD\quad (gt)$

nên $I$ là trung điểm $BF$

Mặt khác:

$\bullet\quad \widehat{ADG} = \widehat{GED} = 30^\circ$

$\Rightarrow \widehat{GDB} = \widehat{GEF}$ (hai góc kề bù tương ứng)

$\bullet\quad \begin{cases}AB = AC\\AD = AE\end{cases}$ (tam giác đều)

$\Rightarrow AB - AD = AC - AE$

$\Rightarrow BD = CE\quad (1)$

Ta lại có:

$\widehat{CEF} = \widehat{AED} = 60^\circ$ (đối đỉnh)

$\widehat{ECF} = \widehat{BAC} = 60^\circ$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{CEF} = \widehat{ECF} = 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle CEF$ đều

$\Rightarrow CE = EF\quad (2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow BD = EF$

Xét $\triangle GDB$ và $\triangle GEF$ có:

$\begin{cases}GD = GE\\BD = EF\\\widehat{GDB} = \widehat{GEF}\end{cases}\quad (cmt)$

Do đó $\triangle GDB = \triangle GEF\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{DGB} = \widehat{EGF}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{DGB} + \widehat{BGE} = \widehat{EGF} + \widehat{BGE}$

$\Rightarrow \widehat{DGE} = \widehat{BGF}$

$\Rightarrow \widehat{BGF} = 120^\circ$

Bên cạnh đó: $GB = GF$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \triangle GBF$ cân tại $G$

$\Rightarrow \widehat{GBF} = \dfrac{180^\circ- \widehat{BGF}}{2} = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$

$\Rightarrow \widehat{GBI} = 30^\circ$

Ta lại có: $I$ là trung điểm cạnh đáy $BF\quad (cmt)$

$\Rightarrow GI\perp BF$

$\Rightarrow \widehat{GIB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BGI} = 90^\circ - \widehat{GBI} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Vậy $\triangle GIB$ có $\widehat{G} = 60^\circ,\ \widehat{I} = 90^\circ,\ \widehat{B} = 30^\circ$