Ở những bài ntn, cần phải khử biến ở mẫu

Dự đoán điểm rơi: `x = 3;y=4;z=5`

Ta phải ghép `ax+7/x` sao cho `ax=7/x` để cô si, khử mẫu.

`=> a = 7/3`

`=> 3a = 7/3`

`=> a = 7/9`

Tương tự, `b = 8/16 = 1/2; c = 9/25`

`=> x+y+z+7/x+8/y+9/z`

`= 2/9x+1/2y+16/25z+(7/9x+7/x)+(1/2y+8/y)+(9/25z+9/z)`

cô si

`>= 2/9x+1/2y+16/25z+ 2sqrt(7/9x*7/x)+2sqrt(1/2y+8/y)+2sqrt(9/25z+9/z)`

`= 2/9x + 1/2y + 16/25z + 2sqrt(49/9) + 2sqrt(4) + 2sqrt(81/25)`

`= 2/9x + 1/2y + 16/25z + 14/3+41+18/5`

mà `x>=3;y>=4;z>=5`

`>= 2/9*3+1/2*4+16/25*5 + 14/3+4+18/5`

`>= 2/3+2+16/5+14/3+4+18/5`

`>=16/3+6+34/5`

`~~18.13`

Vậy GTNN là `~~18.13` khi `x=3;y=4;z=5`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`x+y+z+7/x+8/y+9/z`

`=((2x)/9+y/2+(16z)/25)+((7x)/9+7/x)+(y/2+8/y)+((9z)/25+9/z)`

`\ge((2.3)/9+4/2+(16.5)/25)+2\sqrt{(7x)/9. 7/x}+2\sqrt{y/2. 8/y}+2\sqrt{(9z)/25. 9/z}` (Cauchy)

`=88/15+14/3+4+18/5`

`=(272)/15`

Dấu bằng xảy ra khi $x=3;y=4;z=5$.

Vậy GTNN của biểu thức là `(272)/15` khi $x=3;y=4;z=5$.