Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{100}$

$\Rightarrow BC=10(cm)$.

b) $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBC}$ mà $I\in BC$

$\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{IBD}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{IBD}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta IBD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{IBD}\,\rm(cmt)\\BD\rm\ là\ cạnh \ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta IBD$ (ch-gn).

$\Rightarrow DA=DI$ (hai cạnh tương ứng).

c) Xét tam giác $\Delta DIC$ vuông tại $I$

$\Rightarrow DC$ là cạnh huyền và $DI$ là cạnh góc vuông.

$\Rightarrow DI<DC$ (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông).

Mà $AD=DI$ nên $AD<DC$.

d) Xét hai tam giác vuông $\Delta ADK$ và $\Delta DIC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}DA=DI\,\rm(cmt)\\AK=IC\,\rm(gt)\end{array}\right\}\Delta ADK=\Delta DIC$ (c-g-c).

$\Rightarrow DC=DK$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ADK$ có $AD+AK>DK$ (bất đẳng thức tam giác).

Mà $2.(AD+AK)>2DK$ mà $DC=DK$

$\Rightarrow 2.(AD+AK)>DC+DK$

$\Delta DCK$ có $DC+DK>KC$ (bất đẳng thức tam giác).

$\Rightarrow 2.(AD+AK)>DC+DK>KC$

$\Rightarrow 2.(AD+AK)>KC$.

Bài làm:

`a)` Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A},` ta có`:`

`\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2`

`=>\text{BC}^2=6^2+8^2=36+64=100`

`=>\text{BC}=\sqrt{100}=10` `\text{(cm)}`

`b)` Xét hai tam giác vuông `\text{ABD}` và `\text{IBD},` ta có`:`

`\text{BD}:` cạnh chung

`\hat{\text{ABD}}=\hat{\text{IBD}}` `\text{(gt)}`

`=>``\triangle\text{ABD}=\triangle\text{IBD}` `(\text{CH}-\text{GN})`

`=>``\text{DA = DI}` `(`Hai cạnh tương ứng`)`

`c)` Xét `\triangle\text{IDC}` vuông tại `\text{I},` ta có`:`

`\text{DC > DI}` `(`Cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông`)`

Lại có`:` `\text{DA = DI (cmt)}`

Suy ra`:` `\text{DC > DA}`

`d)` Gọi `\text{H}` là giao điểm của `\text{BD}` và `\text{CK}`

Từ `\triangle\text{ABD}=\triangle\text{IBD}` `(\text{cmt})`

`=>``\text{AB = IB}` `(`Hai cạnh tương ứng`)`

Lại có`:` `\text{AK = IC}` `(\text{gt})`

Suy ra`:` `\text{AB + AK = IB + IC}`

Hay `\text{BK = BC}`

Xét `\triangle\text{BKC},` ta có`:` `\text{BK = BC (cmt)}`

`=>``\triangle\text{BKC}` cân tại `\text{B}`

Mà `\text{BD}` là phân giác của `\hat\text{KBC}` `(=\hat\text{ABC})`

`=>``\text{BD}` đồng thời là đường trung trực của `\triangle\text{KBC}`

Mà `\text{H}` là giao điểm của `\text{BD}` và `\text{KC}`

`=>`$\begin{cases} \text{HK = HC = }\dfrac{\text{KC}}{2}\\\widehat{\text{BHK}}=\widehat{\text{BHC}}=90^\text{o}\\ \end{cases}$

Xét `\triangle\text{DHK}` vuông tại `\text{H},` ta có`:`

`\text{DK > HK = }\frac{\text{KC}}{2}`  `(1)`   `(`Cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông`)`

Xét `\triangle\text{ADK},` ta có`:`

`\text{AD + AK > DK}`   `(2)`   `(`Bất đẳng thức tam giác`)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra`:`

`\text{AD + AK > }\text{KC}/2`

`=>2(\text{AD + AK})>\text{KC}` `\text{(đpcm)}`