Giải thích các bước giải:

a.Ta có $DA, DB$ là tiếp tuyến của $(O)\to OD$ là phân giác $\widehat{AOB}$

Tương tự $OE$ là phân giác $\widehat{AOC}$

Mà $\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180^o\to OD\perp OE$

$\to \widehat{DOE}=90^o$

Ta có $\widehat{OAE}=\widehat{OCE}=90^o\to OCEA$ nội tiếp

$\to \widehat{OEC}=\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$

b.Ta có $AOCE$ nội tiếp

$\to \widehat{CED}=\widehat{CEA}=\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}$

c.Ta có $\Delta BCE$ vuông tại $C, F$ là trung điểm $BE\to FB=FE=EC$

$\to \Delta FBC$ cân tại $F$

Mà $\Delta OCM$ cân tại $M$

$\to \widehat{OMC}=\widehat{OCM}=\widehat{BCF}=\widehat{FBC}$

Mà $\widehat{MCO}=\widehat{FCB}$
$\to \Delta COM\sim\Delta CFB(g.g)$

$\to \dfrac{CM}{CB}=\dfrac{OM}{FB}$

$\to MC.BF=BC.OM=2R.R=2R^2$

d.Gọi $BA\cap CE=K$

Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to BA\perp AC$

Mà $EA, EC$ là tiếp tuyến của $(O)\to OE\perp AC$

$\to OE//AB\to OE//BK$

Mà $O$ là trung điểm $BC\to OE$ là đường trung bình $\Delta BCK\to E$ là trung điểm $CK$

$\to EC=EK$

Lại có $AH//CK(\perp BC)$

$\to \dfrac{NA}{EK}=\dfrac{BN}{BE}=\dfrac{NH}{CE}$

$\to NA=NH\to N$ là trung điểm $AH$