Bài 1:

Gọi ba cạnh tam giác $a,b,c$ là $AB,AC,BC$ như hình vẽ

Gọi ba đường cao $m,n,k$ là $AD,CF,BE$ như hình vẽ

Sử dụng tính chất:

$\text{ canh góc vuông } < \text { cạnh huyền }$

$\to\dfrac{1}{\text{ cạnh góc vuông }} > \dfrac{1}{\text{ cạnh huyền }}$

$\dfrac{1}{AD}>\dfrac{1}{AB}$

$\dfrac{1}{CF}>\dfrac{1}{AC}$

$\dfrac{1}{BE}>\dfrac{1}{BC}$

$\to \dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{CF}+\dfrac{1}{BE}>\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{BC}$

$\to \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{k}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Bài 2:

a)

Gọi $D$ là giao điểm $AG$ và $EF$

$\Delta ABH\backsim\Delta CAH$

$\to \dfrac{AB}{CA}=\dfrac{AH}{CH}$

$\to \dfrac{\dfrac{1}{2}AM}{CA}=\dfrac{AH}{2CI}$

$\to \dfrac{AM}{CA}=\dfrac{AH}{CI}$

$\to \Delta AMH\backsim\Delta CAI$

$\to \widehat{AMH}=\widehat{CAI}$

Mà $\widehat{CAI}+\widehat{MAD}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{AMH}+\widehat{MAD}=90{}^\circ $

$\to \Delta AMD$ vuông tại $D$

$\to MD\bot AD$

$\to MH\bot AI$

b)

Kẻ đường kính $ES$

$\to EF\bot FS$

$\to AG||FS$

$\to AFSG$ là hình thang

Mà $A,F,S,G\,\,\in \,\left( O \right)$

Nên $AFSG$ là hình thang cân

$\to\begin{cases}AF=SG\\AS=FG\end{cases}$

$\Delta AES$ vuông tại $A$

$\to A{{E}^{2}}+A{{S}^{2}}=E{{S}^{2}}$

$\to A{{E}^{2}}+F{{G}^{2}}=E{{S}^{2}}$

$\Delta GES$ vuông tại $G$

$\to S{{G}^{2}}+E{{G}^{2}}=E{{S}^{2}}$

$\to A{{F}^{2}}+E{{G}^{2}}=E{{S}^{2}}$

Ta vừa chứng minh được hai điều:

$\begin{cases}AE^2+FG^2=ES^2\\AF^2+EG^2=ES^2\end{cases}$

Cộng vế theo vế lại với nhau, ta được:

$A{{E}^{2}}+F{{G}^{2}}+A{{F}^{2}}+E{{G}^{2}}=2E{{S}^{2}}$

$A{{E}^{2}}+F{{G}^{2}}+A{{F}^{2}}+E{{G}^{2}}=2B{{C}^{2}}$

$A{{E}^{2}}+F{{G}^{2}}+A{{F}^{2}}+E{{G}^{2}}=2{{\left( 2R \right)}^{2}}$

$A{{E}^{2}}+F{{G}^{2}}+A{{F}^{2}}+E{{G}^{2}}=8{{R}^{2}}\,\,\,\left(=const\right)$

Vậy tổng bình phương tứ giác $AEGF$ luôn bằng $8{{R}^{2}}$ không đổi