Phương pháp giải:

`-` Áp dụng định lý Py-ta-go`:`

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông`.`

`-` Áp dụng tính chất tam giác vuông`:`

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền`.`

`-` Áp dụng tính chất `3` đường trung tuyến trong một tam giác`:`

Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng `2/3` độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy`.`

Đáp án:

`a)` `\text{BC = 10 cm}`

`b)` `\text{AK = 5 cm}`

`c)` `\text{AG}~~3,3\text{ (cm)}`

`d)` `\text{AH = 4,8 cm};\text{ HK = 1,4 cm}`

Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A},` ta có`:`

`\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2` `(`Định lý Py-ta-go`)`

`=>\text{BC}^2=6^2+8^2`

`=>\text{BC}^2=36+64`

`=>\text{BC}^2=100`

`=>\text{BC}=\sqrt{100}`

`=>``\text{BC = 10 (cm)}`

`b)` Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A},` ta có`:`

`\text{AK}=1/2\text{BC}` `(`Tính chất tam giác vuông`)`

`=>``\text{AK}=10/2=5` `\text{(cm)}`

`c)` Xét `\triangle\text{ABC}``,` ta có`:`

`\text{AG}=2/3\text{AK}` `(`Tính chất trọng tâm của một tam giác`)`

`=>``\text{AG}=2/(3).5=10/3~~3,3` `\text{(cm)}`

`d)` Ta có`:`

`{(\text{KB = KC = 5 cm}),(\text{HB = KB}-\text{HK}),(\text{HC = KC}+\text{HK}):}`

`=>``{(\text{HB = 5}-\text{HK}),(\text{HC = 5}+\text{HK}):}`

Xét `\triangle\text{ABH}` vuông tại `\text{H},` ta có`:`

`\text{AB}^2=\text{AH}^2+\text{HB}^2`

`=>``\text{AH}^2=\text{AB}^2-\text{HB}^2`

`=>``\text{AH}^2=6^2-(5-\text{HK})^2`

`=>``\text{AH}^2=36-(5-\text{HK}).(5-\text{HK})`

`=>``\text{AH}^2=36-[(5-\text{HK}).5-(5-\text{HK}).\text{HK}]`

`=>``\text{AH}^2=36-(25-5\text{HK}-5\text{HK}+\text{HK}^2)`

`=>``\text{AH}^2=36-25+10\text{HK}-\text{HK}^2`

`=>``\text{AH}^2=11+10\text{HK}-\text{HK}^2`     `(1)`

Xét `\triangle\text{ACH}` vuông tại `\text{H},` ta có`:`

`\text{AC}^2=\text{AH}^2+\text{HC}^2`

`=>``\text{AH}^2=\text{AC}^2-\text{HC}^2`

`=>``\text{AH}^2=8^2-(5+\text{HK})^2`

`=>``\text{AH}^2=64-(5+\text{HK}).(5+\text{HK})`

`=>``\text{AH}^2=64-[(5+\text{HK}).5+(5+\text{HK}).\text{HK}]`

`=>``\text{AH}^2=64-(25+5\text{HK}+5\text{HK}+\text{HK}^2)`

`=>``\text{AH}^2=64-25-10\text{HK}-\text{HK}^2`

`=>``\text{AH}^2=39-10\text{HK}-\text{HK}^2`    `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra`:`

`=>11+10\text{HK}-\text{HK}^2=39-10\text{HK}-\text{HK}^2`

`=>11+10\text{HK}=39-10\text{HK}`

`=>10\text{HK}+10\text{HK}=39-11`

`=>20\text{HK}=28`

`=>\text{HK}=28/20=1,4` `\text{(cm)}`

Xét `\triangle\text{AHK}` vuông tại `\text{H},` ta có`:`

`\text{AK}^2=\text{AH}^2+\text{HK}^2`

`=>5^2=\text{AH}^2+1,4^2`

`=>25=\text{AH}^2+1,96`

`=>\text{AH}^2=25-1,96=23,04`

`=>\text{AH}=\sqrt{23,04}=4,8` `\text{(cm)}`

Vậy `\text{AH = 4,8 cm; HK = 1,4 cm}`