`a)` Xét $\triangle$ $ABH$ và $\triangle$ $ACH$ ta có $:$

$\widehat{AHB}$ $=$ $\widehat{AHC}$ $= 90^o ($ vì $AH$ là đường cao $)$

$AH$ chung

$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$
`=>` $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $ACH ( ch - cgv )$

`=> HB = HC ( 2` cạnh tương ứng $)$

`b) @` Vì $H$ là trung điểm $BC ( HB = HC )$

`=> HB = HC = 1/2BC = 1/2.10 = 5`

Vậy $HB = 5cm$

`@` Xét $\triangle$ $AHC$ vuông tại $H ( AH$ là đường cao $)$ ta có $:$

$AC^2 = AH^2 + HC^2 ($ Định lý Pitago $)$

Hay `AC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169`

`=> AC = 13 ( AC > 0 )`

Vậy `AC = 13cm`

`#Ly`

$a)$ Theo gt: $ΔABC$ cân tại $A$

$⇒$ $\begin{cases} \widehat{ABH}=\widehat{ACH}\\AB=AC \end{cases}$ 

Mà $AH$ là đường cao

`=>` $AH$ cũng là đường phân giác

`=>` $\widehat{BAH}$ $=$ $\widehat{CAH}$

Xét $ΔABH$ và $ΔACH$ có:

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (cmt)

$AB=AC$ (cmt)

$\widehat{BAH}$ $=$ $\widehat{CAH}$ (cmt)

$⇒$ $ΔABH$ $=$ $ΔACH$ $(g-c-g)$

$b)$ Do $AH$ là đường cao của $ΔABC$ cân tại $A$

$⇒$ $AH$ cũng là đường trung tuyến ứng với $BC$

$⇒$ $H$ là trung điểm của $BC$

$⇒$ $BH$ $=$ $HC$ $=$ `(BC)/(2)` $=$ `(10)/(2)` `=` `5` $(cm)$

Xét $ΔAHC$ vuông tại $H$ có:

$AH^2+HC^2=AC^2$ (Định lí Pitago)

`=>` $AC^2=12^2+5^2=169$

`=>` $AC=13$ $(cm)$