`a)` `AB;AC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `A` `(B;C` là hai tiếp điểm)

`=>AB=AC` và `AO` là phân giác của `\hat{BAC}` 

Mà `OB=OC=R`

`=>AO` là đường trung trực của `BC` $(1)$

$\\$

Vì `ADE` là cát tuyến qua `O`

`=>AO` cắt `(O)` tại hai điểm `D;E`  $(2)$

Từ `(1);(2)=>D` thuộc đường trung trực `AO` của `BC`

`=>BD=CD`

`=>sđ\stackrel\frown{BD}=sđ\stackrel\frown{CD}` 

Ta có:

`\hat{ABD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BD}` (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

`\hat{CBD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CD}` (góc nội tiếp chắn cung $CD)$

`=>\hat{ABD}=\hat{CBD}`

`=>BD` là phân giác của `\hat{ABC}` (đpcm)

$\\$

Xét `\Delta ABC` có:

`\qquad AO` là phân giác của `\hat{BAC}` 

`\qquad BD` là phân giác của `\hat{ABC}` 

`\qquad AO` cắt `BD` tại `D`

`=>D` là tâm đường tròn nội tiếp `\Delta ABC` (đpcm)

$\\$

`b)` `OB=R; AO=2R`

Xét `\Delta ABO` vuông tại `B`

`=>cos\hat{AOB}={OB}/{AO}=R/{2R}=1/ 2`

`=>\hat{AOB}=60°`

Ta có: `\hat{BOE}+\hat{AOB}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{BOE}=180°-\hat{AOB}=180°-60°=120°`

Diện tích hình quạt giới hạn bởi `OB, OE` và cung nhỏ `BE` theo `R` là:

`S_{\text{hình quạt} BOE}={πR^2 n}/{360}={πR^2 .120}/{360}={πR^2}/3` (đvdt)

________

(đvdt: đơn vị diện tích 

`S_{\text{hình quạt}}={πR^2 n}/{360}` 

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: giao điểm các đường phân giác trong)