`a)` Xét $\triangle$ $AHB$ và $\triangle$ $AHC$ ta có $:$

$\widehat{AHB}$ $=$ $\widehat{AHC}$ $= 90^o ($ vì $AH$ $\bot$ $BC )$

$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

$AH$ chung

`=>` $\triangle$ $AHB$ $=$ $\triangle$ $AHC ( ch - cgv )$

`=> HB = HC ( 2` cạnh tương ứng $)$

`b) @` Vì $H$ là trung điểm $BC ( HB = HC )$

`=> HB = HC = 1/2BC = 1/2 . 10 = 5(cm)`

Xét $\triangle$ $AHB$ vuông tại $H ( AH$ $\bot$ $BC )$ ta có $:$

$AB^2 = AH^2 + HB^2 ($ Định lý Pitago $)$

Hay `AH^2 = AB^2 - HB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144`

`=> AH = 12 ( AH > 0 )`

Vậy `AH  = 12cm`

`@` Xét $\triangle$ $ABC$ ta có $:$

$AH$ là trung tuyến $( H$ là trung điểm $BC )$

$BM$ là trung tuyến $( gt )$

Mà `AH nn BM = {G}`

`=> G` là trọng tâm $\triangle$ $ABC$ 

`=> AG = 2/3AH (` tính chất trọng tâm $)$

`=> AG = 2/3 . 12 = 8`

Vậy `AG = 8cm`

`c)` Vì $CN$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

`=> N` là trung điểm $AB$

`=> AN = NB = 1/2AB (1)`

Vì $BM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

`=> M` là trung điểm $AC$

`=> MA = MC = 1/2AC (2)$

Mà $AB = AC ( cmt )$

`=> AN = NB  = AM = MC`

`=>` `\triangle` $ANM$ cân tại $A ( gt )$

`=>` $\widehat{ANM}$ `= ( 180^o - \hat{BAC} )/2`

Mà $\widehat{ABC}$ `= ( 180^o - \hat{BAC} )/2 ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=>` $\widehat{ANM}$ $=$ $\widehat{ABC}$ `( = ( 180^o - \hat{BAC} )/2)`

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị

`=>` $NM // BC ( dhnb 2$ đường thẳng $// )$

`GT`  `\triangle ABC` cân tại `A` 

       `AH bot BC ` tai `H`

        `AB= 13cm ; BC = 10 cm `

          Trung tuyến `BM` `( BM nn AH ={G}`

          Trung tuyến `CN`

`KL`    `\triangle AHB =  ``\triangle AHC ` ; `BH = HC `

             `AH = ? ; AG = ?`

             $MN//BC$

`---------`

Chứng minh : 

`a)` Có : `\triangle ABC` cân tại `A`  ( gt ) 

` => hat{ABH} = hat{ACH} = {180^o - hat{A}}/2`              `(1)`

         `AB = AC ` 

Có : `AH bot BC` ( gt ) 

`=> hat{H_1} = hat{H_2}=90^o`     

Xét `\triangle AHB` và `\triangle AHC ` có : 

`+)``AB = AC` ( gt) 

`+)` `hat{ABH} = hat{AHC}` ( cmt) 

`+)` `hat{H_1} = hat{H_2} = 90^o` 

`=> ` `\triangle ABH=``\triangle AHC `  ( ch - gn ) 

`=> BH = HC` ( `2` cạnh tương ứng ) 

`b)`  Có : `BH = HC` ( cmt ) 

Mà `BH + HC = BC ` `=> AH` là trung tuyến của `\triangle ABC`

`=> BH = HC = {BC}/2 = 10/2 = 5(cm)`

Áp dụng định lí Py - ta - go vào `\triangle ABH` vuông tại `H`

`BH^2 + AH^2= AB^2` 

`=> AH^2 = AB^2 - BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144`

`=> AH = sqrt{144} = 12 ( cm)`

`\triangle ABC` có : 

`+` Trung tuyến `AH `       ( cmt)

`+` Trung tuyến `BM` ( gt)

`+` `AH nn BM = {G}`      ( gt ) 

`=> G` là trọng tâm của `\triangle ABC`

`=> AG = 2/3 AH`

`=> AG = 2/3 . 12 = 8 ( cm)`

`c)`  Có : Trung tuyến `BM` ( gt ) 

`=>  AM = MC`                 `(2)`

Có : Trung tuyến `CN` ( gt) 

`=> AN = NB `               `(3)`

Mà `AB = AC ` ( cmt)                    `(4)`

Từ ` (2) ; (3)  ; ( 4)`

`=> AN = AM `

`=> ` `\triangle ANM` cân tại `A` 

`=> hat{ANM} = {180^o - hat{A}}/2 `                   `(5)`

Từ `(1)` và `(5)`

`=> hat{ANM} = hat{ABH}`

Mà `hat{ANM}` và `hat{ABH}` là `2` góc đồng vị 

`=>` $MN //BC $