Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a.`

Xét đường tròn `(O)` ta có:

`IM,IN` là 2 tiếp tuyến của `(O)` tại `M` và `N` 

nên `IM⊥OM,IN⊥ON`

`=>hat(IMO)=90^o,hat(INO)=90^o`

Xét tứ giác `IMON` có:

`hat(IMO)+hat(INO)=180^o`

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

`=>` Tứ giác `IMON` là tứ giác nội tiếp.

`b.`

Ta có: `IM=IN` (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)    `(1)`

`hat(HKN)=hat(IKN)=hat(HNI)` (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và cung bị chắn cùng chắn cung `HN`)

Xét `DeltaKIN` và `DeltaNIH` có:

`hat I` chung

`hat(IKN)=hat(HNI)` (cmt)

`=>``DeltaKIN` $\sim$ `DeltaNIH`  `(g.g)`

`=>`$\dfrac{IN}{IH}=\dfrac{IK}{IN}$

`=>IN^2=IH.IK`   `(2)`

Từ `(1),(2)=>IM.IN=IH.IK` (đpcm)

`c.`

Gọi `E` là giao điểm của `IK` và `PN`

`C` là giao điểm của `KN` và `MI`

Xét `(O)` có:

`OM=ON=R`

`MI=NI` (cmt)

`=>OI` là trung trực của `MN`

`=>OI⊥MN`    `(3)`

Lại có: `hat(MNK)=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>MN⊥KC`    `(4)`

Từ `(3),(4)=>OI////KC`

Xét `DeltaMKC` có:

`O` là trung điểm `MK`

mà `OI////KC` (cmt)

`=>OI` đi qua trung điểm của `MC`

hay `I` là trung điểm `MC`

`=>MI=IC`

Mặc khác: `NP⊥MK,CM⊥MK`

`=>NP////CM`

Xét `DeltaKMI` có: `PE////IM`

`=>(PE)/(MI)=(KE)/(KI)`    `(5)`

Xét `DeltaKIC` có: `NE////CI`

`=>(NE)/(CI)=(KE)/(KI)`    `(6)`

 Từ `(5),(6)=>(PE)/(MI)=(NE)/(CI)`

mà `MI=CI` (cmt)

`=>PE=NE`

`=>E` là trung điểm của `PN` (đpcm)