Bài 2:

$ a)BH \bot AC(gt) \ \\ CK \bot AC \ \\ \Rightarrow BH//CK(1) \ \\ BK \bot AB \ \\ CH \bot AB \ \\ \Rightarrow BK//CH(2) \ \\ $

$(1)(2) \Rightarrow BHCK$ là hình bình hành

b) Vì $BHCK$ là hình bình hành, có $M$ là trung điểm của $BC$(gt)

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $HK$

Vậy $IM$ là đường tring bình của tam giác $AHK$

$\Rightarrow IM=\dfrac{AH}{2}$

c) Hình bình hành $BHCK$ là hình thoi thì: 

$ HK \bot BC \ \\ \Leftrightarrow HM \bot BC \ \\ AH \bot BC \Rightarrow HM \bot BC \ \\ $

KHi đó $A;H; M$ thẳng hàng

$ \Leftrightarrow AM \bot BC$

$ \Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$

Hình bình hành $BHCK$ là hình chữ nhật thì: $BH \bot HC$. Mà $BE \bot HC;CK \bot C{\text{D}} \Rightarrow BH \bot HC$

Vậy $H; D; E$ thẳng hàng. Khi đó, $H; D; E$ trùng với $A$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$