Giải thích các bước giải:

1.Vì $AH$ là đường kính của $(I)\to HD\perp AB, HE\perp AC$

        $AB\perp AC$

$\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{DHE}=90^o\to DE$ là đường kính của $(I)\to D, I, E$ thẳng hàng

Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H, HD\perp AB$

$\to AD\cdot AB=AH^2$

Tương tự $AE\cdot AC=AH^2$

$\to AD\cdot AB=AE\cdot AC$

2.Ta có: $AH\perp BC\to IH\perp BC=H\to BC$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\to GD, GH$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to GI\perp DH$

$\to GI//AB(\perp DH)$

Do $I$ là trung điểm $AH\to G$ là trung điểm $HB$

Tương tự $IF//AC, F$ là trung điểm $HC$

$\to IF\perp IG$ vì $AB\perp AC$

$\to \widehat{GIF}=90^o$

3.Ta có: $\Delta DBH$ vuông tại $D, G$ là trung điểm $BH$

$\to GD=GB=GH=\dfrac12BH$

Tương tự $FE=FH=FC=\dfrac12CH$

Ta có: $DG\perp DE, EF\perp DE$ vì $DG, EF$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\to DGFE$ là hình thang vuông tại $D,E$
$\to S_{DEFG}=\dfrac12DE\cdot (GD+FE)$

$\to S_{DEFG}=\dfrac12AH\cdot (GH+HF)$

$\to S_{DEFG}=\dfrac12AH\cdot (\dfrac12BH+\dfrac12CH)$

$\to S_{DEFG}=\dfrac12AH\cdot \dfrac12BC$

$\to S_{DEFG}=\dfrac14BC\cdot AH$

$\to S_{DEFG}\le \dfrac14BC\cdot AO$

$\to S_{DEFG}\le \dfrac14\cdot 2R\cdot R=\dfrac12R^2$

$\to GTLN_{S_{DEFG}}=\dfrac12R^2$

$\to$Dấu = xảy ra khi $AH=AO\to H\equiv O\to A$ nằm chính giữa cung $BC$