Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABC,\Delta ABD$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ABC}=\widehat{ADB}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ABC\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$

$\to AB^2=AC\cdot AD$ 

b.Vì $M$ là trung điểm $CD\to OM\perp CD$

         $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{AMO}=90^o$

$\to ABOM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

$\to$Tâm đường tròn là $I$ là trung điểm $AO$

c.Ta có: $(O)\cap (I)=B, E$

$\to OI$ là trung trực $BE$

Do $A\in AO$

$\to \widehat{AEO}=\widehat{ABO}=90^o$

$\to AE$ là tiếp tuyến của $(O)$

d.Ta có: $AB, AE$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AE=AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=R\sqrt3$

$\to S_{ABOE}=2S_{AOB}=2\cdot \dfrac12AB\cdot BO=R^2\sqrt3$

Ta có: $\cos\widehat{BOA}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac12$

$\to \widehat{BOA}=60^o$

$\to \widehat{BOE}=2\widehat{BOA}=120^o$

$\to S_{cung\quad BOE}=\dfrac{120^o}{360^o}\cdot \pi R^2=\dfrac13\pi R^2$

$\to$Diện tích $ABOE$ nằm ngoài đường kính $(O)$ là:

$$S=R^2\sqrt3-\dfrac13\pi R^2$$