Giải thích các bước giải:

Xét dãy số $8, 88, 888,\cdots \underbrace{88\cdots8}_{\text{có 2011 chữ số 8}}$

Trường hợp trong dãy số trên có $1$ số chia hết cho $2011\to đpcm$

Trường hợp trong dãy số trên không có số nào chia hết cho $2011$

$\to$Khi đem $2011$ số trên chia cho $2011$ ta được các số dư là $1,2,3,\cdots 2010, $($2010$ số dư)

Vì $2011=2010\cdot 1+1$

$\to$Theo nguyên lý Diriclet tồn tại ít nhất $2$ số có cùng số dư khi chia cho $2011$

$\to$Giả sử $2$ số đó là:

$a_i=\underbrace{88\cdots8}_{\text{có i chữ số 8}}$

$a_j=\underbrace{88\cdots8}_{\text{có j chữ số 8}}$

Với $i,j \in N, 1\le i<j\le 2011$

$\to a_j-a_i\quad\vdots\quad 2011$

$\to \underbrace{88\cdots8}_{\text{có j chữ số 8}}-\underbrace{88\cdots8}_{\text{có i chữ số 8}}\quad\vdots\quad 2011$

$\to \underbrace{88\cdots8}_{\text{có j -i chữ số 8}}\cdot \underbrace{10\cdots 0}_{\text{ có i chữ số 0}}\quad\vdots\quad 2011$

$\to \underbrace{88\cdots8}_{\text{có j -i chữ số 8}}\cdot 10^{i}\quad\vdots\quad 2011$

Do $10^i\quad\not\vdots\quad 2011$

$\to \underbrace{88\cdots8}_{\text{có j -i chữ số 8}}\quad\vdots\quad 2011$

$\to đpcm$