$\text{a) Vì ΔABC cân tại A → AB = AC và}$ `hat{A}` `=` `hat{B}`

$\text{Xét ΔAHB và ΔAHC, có}$

      `hat{BAH}` `=` `hat{CAH}` $\text{(Vì AH là tia phân giác của}$ `hat{A}`$\text{)}$

              `AB` `=` `AC`

       `hat{A}` `=` `hat{B}`

`->` $\text{ΔAHB = ΔAHC (g.c.g)}$

`->` `hat{AHB}` `=` `hat{AHC}` $\text{( 2 góc tương ứng) và BH = HC =}$ $\frac{12}{6}$ $\text{= 6 (2 cạnh tương ứng) }$

$\text{Mà:}$ `hat{AHB}` `+` `hat{AHC}` `=` $180^{o}$ $\text{( 2 góc kề bù)}$

`->` `hat{AHB}` `=` `hat{AHC}` `=` $\frac{180^{o}}{2}$ `=` $90^{o}$ 

`->` $\text{ΔAHB và ΔAHC là tam giác vuông}$

$\text{Áp dụng định lý Py - ta - go cho ΔAHB, ta có:}$

$AH^{2}$ $\text{+}$ $BH^{2}$ $\text{=}$ $BC^{2}$

`Hay:` $AH^{2}$ $\text{+}$ $6^{2}$ $\text{=}$ $10^{2}$

`->` $AH^{2}$ $\text{+}$ `64` $\text{=}$ `100`

`->` $AH^{2}$ $\text{=}$ `100` $\text{-}$ `64`

`->` $AH^{2}$ $\text{=}$ `64`

`->` `AH` `=` $\sqrt{64}$ = `8`  $\text{(cm)}$

$\text{b) Xét ΔDBH và ΔECH, có}$

              `BD` `=` `CE`

              `BH` `=` `HC`

         `hat{A}` `=` `hat{B}`

$\text{→ ΔDBH = ΔECH (c.c.c)}$

`->` `DH` `=` `HE` $\text{2 cạnh tương ứng}$

$\text{Có: AD + DB = AB}$

       $\text{AE + EC = AC}$

$\text{Mà AB = AC, DB = EC}$

`->` $\text{AD = AE}$

$\text{Gọi giao điểm của AH và DE là K}$

$\text{Xét ΔAKD và ΔAKE, có}$

    `hat{BAH}` `=` `hat{CAH}`

        $\text{AD = AE}$

       $\text{Chung AK}$

$\text{→ ΔAKD = ΔAKE (c.c.c)}$

`->` `hat{HDE}` `=` `hat{HED}` $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{c) Vì ΔAKD = ΔAKE (cmt)}$

`->` `hat{HKD}` `=` `hat{HKE}` $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{Có:}$ `hat{HKD}` `+` `hat{HKE}` `=` $180^{o}$ $\text{( 2 góc kề bù)}$

`->` `->` `hat{HKD}` `+` `hat{HKE}` `=` $\frac{180^{o}}{2}$ `=` $90^{o}$ 

`->` `HK` `⊥` `DE`

$\text{Vì}$ `HK` `⊥` `DE` $\text{và}$ `DH` `=` `HE`

`->` $\text{AH là đường trung trực của đoạn thẳng DE}$

$\color{darkblue}{@chou}$

Mik ko vẽ hình nha@

a, Xét tam giác HBA vuông tại H có:

AB²=AH²+BH²(định lí py ta go)

hay 100=AH²+36

=> AH²=64

=> AH=8(cm)

b, Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

góc AHB=góc AHC =90 độ

AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

=> tam giác ABH = tam giác ACH

c,

Xét tam giác DBH và tam giác ECH có:

BD=CE (gt)

góc DBH= góc ECH (tam giác ABC Cân tại A)

BH=CH (trong tam giác cân, đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

=> tam giác DBH=tam giác ECH

=> DH=EH( 2 cạnh tương ứng)

=> tam giác HDE cân tại H

d) Vì AB = AC; BD = CE

mà AB - BD = AD

AC - CE = AE

=> AD = AE

Vì ΔHDE cân

=> H ∈ đường trung trực cạnh DE (1)

Xét ΔADHvàΔAEHcó

AD = AE (cmt)

AH (chung)

DH = HE (cmt)

Do đó: ΔADH=ΔAEH(c−c−c)

=> AD = AE ( hai cạnh tương ứng)

=> ΔADE cân tại A

=> A ∈ đường trung trực cạnh DE (2)

(1); (2) => A,H ∈ đường trung trực cạnh DE

=>AH là đường trung trực cạnh DE