Đáp án:

                $x^2 - 2x + 3m - 2 = 0$ 

$\Delta ' = (- 1)^2 - 1.(3m - 2) = 1 - 3m + 2 = 3 - 3m$ 

Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta ' \geq 0 \Rightarrow 3 - 3m \geq 0 \Rightarrow m \leq 1$ 

Khi đó ta có: 

$x_1 + x_2 = 2$ 

$x_1x_2 = 3m - 2$ 

Ta có: 

$x_1^2 + x_2^2 = 20 \Rightarrow x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = 20 \Rightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 20$ 

Thay Vì ét vào ta có: 

$2^2 - 2(3m - 2) = 20 \Leftrightarrow 4 - 6m + 4 = 20 \Leftrightarrow - 6m = 12 \Leftrightarrow m = - 2$ 

Vậy $m = - \dfrac{10}{3}$ thỏa mãn điều kiện bài toán. 

b.                      $x^2 + 3x + 2m - 5 = 0$ 

$\Delta = 3^2 - 1.4.(2m - 5) = 9 - 8m + 20 = - 8m + 29$ 

Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta \geq 0 \Rightarrow - 8m + 29 \geq 0 \Rightarrow m \leq \dfrac{29}{8}$ 

Khi đó ta có: 

$x_1 + x_2 = 3$ 

$x_1x_2 = 2m - 5$ 

Ta có: 

$x_1^2 + x_2^2 = 23 \Rightarrow x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = 23 \Rightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 23$ 

Thay Vì ét vào ta có: 

$3^2 - 2(2m - 5) = 23 \Leftrightarrow 9 - 4m + 10 = 23 \Leftrightarrow - 4m = 4 \Leftrightarrow m = - 1$ 

Vậy $m = - 1$ thỏa mãn điều kiện bài toán. 

c.                             $x^2 - 4x - 2m + 3 = 0$ 

$\Delta ' = (- 2)^2 - 1.(- 2m + 3) = 4 + 2m - 3 = 2m + 1$ 

Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta ' \geq 0 \Rightarrow 2m + 1 \geq 0 \Rightarrow m \geq - \dfrac{1}{2}$ 

Khi đó ta có: 

$x_1 + x_2 = 4$ 

$x_1x_2 = - 2m + 3$ 

Ta có: 

$x_1^2 + x_2^2 = 16 \Rightarrow x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = 16 \Rightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16$ 

Thay Vì ét vào ta có: 

$4^2 - 2(- 2m + 3) = 16 \Leftrightarrow 16 + 4m - 6 = 16 \Leftrightarrow 4m = 6 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$ 

Vậy $m = \dfrac{3}{2}$ thỏa mãn điều kiện bài toán. 

Giải thích các bước giải:

Bài `8:`

`a)`

Xác định hệ số :

`a=1`

`b=-2`

`c=3m-2`

Áp dụng delta :

`\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4.1.(3m-2)=4-12m+8=12-12m`

Để phương trình có `2` nghiệm `x_1` và `x_2` thì `\Delta` $\geq$ `0`

`<=>12-12m` $\geq$ `0`

`<=>-12m` $\geq$ `-12`

`<=>m` $\leq$ `1`

Vậy để phương trình có `2` nghiệm `x_1` và `x_2` thỏa mãn thì `m` $\leq$ `1`

Áp dụng Vi-ét :

`{(x_1+x_2=-b/a=2),(),(x_1x_2=c/a=3m-1):}`

Ta có : `x_1^2+x_2^2=20`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=20`

`<=>2^2-2.(3m-2)=20`

`<=>4-6m+4=20`

`<=>8-6m=20`

`<=>6m=8-20`

`<=>6m=-12`

`<=>m=-2`

Vậy `m=-2` và thỏa mãn điều kiện `m` $\leq$ `1`

`b)`

Xác định hệ số :

`a=1`

`b=3`

`c=2m-5`

Áp dụng delta :

`\Delta=b^2-4ac=3^2-4.1.(2m-5)=9-8m+20=29-8m`

Để phương trình có `2` nghiệm `x_1` và `x_2` thì `\Delta` $\geq$ `0`

`<=>29-8m` $\geq$ `0`

`<=>-8m` $\geq$ `-29`

`<=>m` $\leq$ `29/8`

Vậy để phương trình có `2` nghiệm `x_1` và `x_2` thỏa mãn thì `m` $\leq$ `29/8`

Áp dụng Vi-ét :

`{(x_1+x_2=-b/a=-3),(),(x_1x_2=c/a=2m-5):}`

Ta có : `x_1^2+x_2^2=23`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=23`

`<=>(-3)^2-2.(2m-5)=23`

`<=>9-4m+10=23`

`<=>19-4m=23`

`<=>4m=19-23`

`<=>4m=-4`

`<=>m=-1`

Vậy `m=-1` và thỏa mãn điều kiện `m` $\leq$ `29/8`

`c)`

Xác định hệ số :

`a=1`

`b=-4`

`c=-2m+3`

Áp dụng delta :

`\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4.1.(-2m+3)=16+8m-12=8m+4`

Để phương trình có `2` nghiệm `x_1` và `x_2` thì `\Delta` $\geq$ `0`

`<=>8m+4` $\geq$ `0`

`<=>8m` $\geq$ `-4`

`<=>m` $\geq$ `-1/2`

Vậy để phương trình có `2` nghiệm `x_1` và `x_2` thỏa mãn thì `m` $\geq$ `-1/2`

Áp dụng Vi-ét :

`{(x_1+x_2=-b/a=4),(),(x_1x_2=c/a=-2m+3):}`

Ta có : `x_1^2+x_2^2=16`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16`

`<=>4^2-2.(-2m+3)=16`

`<=>16+4m-6=16`

`<=>10+4m=16`

`<=>4m=16-10`

`<=>4m=6`

`<=>m=3/2`

Vậy `m=3/2` và thỏa mãn điều kiện `m` $\geq$ `-1/2`

___________________________________________

Dạng thường gặp và cần lưu ý :

`x_1^2+x_2^2`

`=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`