Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ đều, $M$ là trung điểm $BC\to AM\perp BC$

$\to AM=\dfrac{AB\sqrt3}2=\dfrac{2a\sqrt3}2=a\sqrt3$

Mặt khác $AM$ đồng thời là phân giác $\hat A\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}=\dfrac12\widehat{BAC}=30^o$ 

Vì $MH\perp AB\to \Delta AHM$ là nửa tam giác đều

$\to AH=\dfrac{AM\sqrt3}2=\dfrac{3a^2}2$

Vì $AM$ là phân giác $\hat A, MH\perp AB, MK\perp AC$

$\to AH=AK=\dfrac32a^2$

b.Xét $\Delta BDM,\Delta CME$ có:

$\widehat{DBM}=\widehat{ECM}(=60^o)$

$\widehat{DMB}=180^o-\widehat{DME}-\widehat{EMC}=180^o-60^o-\widehat{EMC}=180^o-\widehat{ECM}-\widehat{EMC}=\widehat{MEC}$

$\to \Delta MDB\sim\Delta EMC(g.g)$

$\to\dfrac{DM}{EM}=\dfrac{BD}{MC}=\dfrac{BD}{MB}$

Do $\widehat{DME}=\widehat{DBM}(=60^o)$

$\to \Delta DME\sim\Delta DBM(c.g.c)$

$\to \widehat{MDE}=\widehat{MDB}$

$\to DM$ là phân giác $\widehat{BDE}$

c.Ta có: $DM$ là phân giác $\widehat{BDE}, MH\perp DB, MI\perp DE$

$\to MH=MI$

$\to DH^2=DM^2-MH^2=DM^2-MI^2=DI^2$

$\to DH=DI$

Vì $AM$ là phân giác $\hat A, MH\perp AB, MK\perp AC\to MH=MK$

$\to MK=MI(=MH)$

$\to EI^2=EM^2-MI^2=EM^2-MK^2=EK^2$

$\to EI=EK$