`a) Xét $\triangle$ $AEC$ và $\triangle$ $ADB$ ta có $:$

$\widehat{AEC}$ $=$ $\widehat{ADB}$ $= 90^o ($ vì $CE ; BD$ là đường cao của $\triangle$ $ABC )$

$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

$\widehat{BAC}$ chung

`=>` $\triangle$ $AEC$ $=$ $\triangle$ $ADB ( ch - gn )$

`=> AE = AD ( 2` cạnh tương ứng $)$

`b) @` Xét $\triangle$ $AHE$ và $\triangle$  $AHD$ ta có $:$

$\widehat{AEH}$ $=$ $\widehat{ADH}$ $= 90^o ( cmt )$

$AH$ chung

$AE = AD ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $AHE$ $=$ $\triangle$  $AHD ( ch - cgv )$

`=>` $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A2}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

`=> AH` là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

`@` Vì $EH = DH ($ $\triangle$ $AHE$ $=$ $\triangle$  $AHD )$

`=> H in` trung trực $DE$

Mà `A in` trung trực của $DE ( AE = AD )$

`=> AH in` trung trực của $DE$

`c)` Ta có $:$ $\widehat{ABD}$ $+$ $\widehat{B2}$ $=$ $\widehat{ABC}$

$\widehat{ACE}$ $+$ $\widehat{C2}$ $=$ $\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABD}$ $=$ $\widehat{ACE}$ $($ vì $\triangle$ $AEC$ $=$ $\triangle$ $ADB )$

$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{ACB}$ $($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=>`  $\widehat{C2}$ $=$ $\widehat{B2}$ 

`=>` $\triangle$ $HBC$ cân tại $H ( dhnb )$

Xét $\triangle$ $HEB$ vuông tại $E ( CE$ là đường cao của $\triangle$ $ABC )$ ta có $:$

`HE < HB ( cgv < ch )`

Mà `HB = HC (` vì  $\triangle$ $HBC$ cân tại $H )$

`=> HE < HC`

`d)` Vì $EF // BD ( gt )$

`=>` $\begin{cases} \widehat{E1}=\widehat{C2} ( 2 \text{góc sole trong}) (1) \\\widehat{E2}=\widehat{B2} ( 2 \text{góc đồng vị}) \end{cases}$

Mà $\widehat{C2}=\widehat{B2}$ ($ cmt )$

`=>` $\widehat{E2}=\widehat{C2} ( =  \widehat{B2} ) (2)$

Từ $(1) ; (2)$

`=>`  $\widehat{E1}= \widehat{E2} ( = \widehat{C2} )$

`=> ED` là tia phân giác của $\widehat{FEC}$

Xét $\triangle$ $FEC$ ta có $:$

`ED` là tia phân giác $( cmt )$

`CI` là tia phân giác 

Mà `ED` $\cap$ $CI =$ `{I}`

`=> I` là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $FEC$ 

`=> FI` là tia phân giác của $\widehat{EFD}$

`@` Ta có $: EF // BD ( gt )$

Mà $BD$ $\bot$ $FD ($ vì $BD$ là đường cao của $\triangle$ $ABC )$

`=> EF` $\bot$ $FD ($ từ $\bot$ `=>` $// )$

`=>` $\widehat{EFD}$ $= 90^o$

Mà `FI` là tia phân giác của $\widehat{EFD} ( cmt )$

`=>`$\widehat{EFI}$ `= 1/2` $\widehat{EFD}$ `= 1/2 . 90^o = 45^o`

Vậy `$\widehat{EFI}$  `= 45^o`