Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to A, B, O, C\in$ đường tròn đường kính $AO$

b.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC\to BH\perp AO$

Mà $\Delta ABO$ vuông tại $B\to AH\cdot AO=AB^2$

Xét $\Delta ABE,\Delta ABD$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ABE\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}$

$\to AB^2=AD\cdot AE$

$\to AE\cdot AD=AH\cdot AO$

c.Vì $CD$ là đường kính của $(O)\to CE\perp ED$

$\to \Delta ACE$ vuông tại $E$

Mà $M$ là trung điểm $AC\to ME=MA=MC=\dfrac12AC$

Vì $ME=MC, OE=OC$

$\to OM$ là trung trực $CE$

$\to \widehat{OEM}=\widehat{OCM}=90^o$

$\to ME$ là tiếp tuyến của $(O)$

Gọi $ON\cap AD=F$

Vì $ME$ là tiếp tuyến của $(O)\to OE\perp MN\to OE\perp NE$

Ta có: $\widehat{NEO}=\widehat{NHO}=90^o$

$\to NEHO$ nội tiếp đường tròn đường kính $NO$ (1)

Xét $\Delta AEH,\Delta AOD$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}$ vì $AE\cdot AD=AH\cdot AO$

$\to \Delta AHE\sim\Delta ADO(c.g.c)$

$\to \widehat{AHE}=\widehat{ADO}=\widehat{EDO}$

$\to EHOD$ nội tiếp (2)

Từ $(1), (2)\to N, E, H, O, D$ cùng thuộc một đường tròn
$\to \widehat{NDO}=180^o-\widehat{NEO}=90^o\to ND$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to ND, NE$ là tiếp tuyến của $(O)\to ON\perp ED$

$\to AI\perp NO$

Mà $AH\perp BC\to NI\perp OA$

$|to I$ là trực tâm $\Delta ANO$

$\to OI\perp AN$