Số khá to ý, và nhận thấy các số có hệ số to thì đều cùng $\vdots$ cho 1 số nên ta nghĩ đến phương pháp lùi vô hạn trong giải pt nghiệm nguyên.

$x^3+5y^3=25z^3$

Do $5y^3,25z^3\vdots 5\to x^3\vdots 5\to x\vdots 5$

Đặt: $x=5x_1(x_1\in Z)$

$\to 125x_1^3+5y^3=25z^3\\\to 25x_1^3+y^3=5z^3$

Tiếp theo thì $25x_1^3\vdots 5,5z^3\vdots 5$

$\to y^3\vdots 5\to y\vdots 5$

Đặt: $y=5y_1(y_1\in Z)$

$\to 25x_1^3+125y_1^3=5z^3\\\to 5x_1^3+25y_1^3=z^3$

Có $5x_1^3\vdots 5, 25y_1^3\vdots 5$

$\to z^3\vdots 5\to z\vdots 5$

Đặt: $z=5z_1(z_1\in Z)$

$\to 5x_1^3+25y_1^3=125z_1^3\\\to x_1^3+5y_1^3=25z_1^3(*)$

Để ý pt đề bài với pt $(*)$ khi ta lùi sang biến $x_1,y_1,z_1$ hoàn toàn giống nhau

Như vậy có thể lí luận với mọi $x,y,z\vdots 5$ thì ta vẫn được 1 cặp nghiệm của pt

Vậy nghiệm của pt tổng quát là: $\dfrac{x}{5^k},\dfrac{y}{5^k},\dfrac{z}{5^k}(k\in Z^+)$

Xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=0$

Vậy pt có nghiệm $(x;y;z)=(0;0;0)$

Ta có: $x^{3}$ + $5y^{3}$ = $25z^{3}$ (1)

Vì $5y^{3}$, $25z^{3}$ chia hết cho 5 ⇒ $x^{3}$ chia hết cho 5 

Đặt x = 5$x_{1}$ ($x_{1}$ ∈ Z)

(1) ⇔ 125$x^3_{1}$ + $5y^{3}$ = $25z^{3}$

⇔25$x^3_{1}$+$y^{3}$ = $5z^{3}$  (2)

Vì $25x^3_{1}$, $5z^{3}$ chia hết cho 5 ⇒ $y^{3}$ hia hết cho 5 

Đặt y = 5$y_{1}$ ($y_{1}$ ∈ Z)

(2)⇔25$x^3_{1}$+$125y^3_{1}$ = $5z^{3}$

⇔5$x^3_{1}$+$25y^3_{1}$ = $z^{3}$  (3)

Vì $5x^3_{1}$ , $25y^3_{1}$chia hết cho  5⇒$z^{3}$ chia hết cho 5

Đặt z = 5$z_{1}$ ($z_{1}$ ∈ Z)

(3) ⇔ 5$x^3_{1}$+$25y^3_{1}$ = $125z^3_{1}$

⇔$x^3_{1}$+$5y^3_{1}$ = $25z^3_{1}$

Cứ lùi vô hạn như vậy ⇒ nghiệm (x,y,z) là nghiệm của (1) thì ($\frac{x}{5 }$ ,$\frac{y}{5}$ ,$\frac{z}{5}$ ),...,($\frac{x}{5^n}$ ,$\frac{y}{5^n}$ ,$\frac{z}{5^n}$) cũng là nghiệm của (1)

Điều này xảy ra khi (x,y,z)=(0,0,0)

Vậy nghiệm của pt trên là (x,y,z)=(0,0,0)