Giải thích các bước giải:

1.Xét $\Delta ABC, \Delta HBA$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}(=90^o)$

$\to \Delta ABC\sim\Delta HBA(g.g)$

b.Xét $\Delta AHE, \Delta ACH$ có:

Chung $\hat A$
$\widehat{AEH}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\to \Delta AHE\sim\Delta ACH(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AE}{AH}$

$\to AH^2=AE.AC$

3.Tương tự câu $2\to AH^2=AF.AB$

$\to AF.AB=AE.AC$

4.Không mất tính tổng quát giả sử $HB=5, HC=20$

Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}$

$\to \Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to AH^2=HB.HC=5\cdot 20=100\to AH=10$

$\to AB=\sqrt{HA^2+HB^2}=5\sqrt{5}, AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=10\sqrt{5}$

Mà $HF\perp AB$

$\to S_{HAB}=\dfrac12HF\cdot AB=\dfrac12HA\cdot HB$

$\to HF=\dfrac{HA\cdot HB}{AB}=2\sqrt{5}$

$\to AF=\sqrt{AH^2-FH^2}=4\sqrt{5}$

Ta có $AB\perp AC, HE\perp AC, HF\perp AB\to AEHF$ là hình chữ nhật

$\to AE=HF=2\sqrt{5}$

$\to S_{AEF}=\dfrac12AE\cdot AF=20$