Lời giải:

a) Xét $ΔEHB$ và $ΔDHC$ có:

$\begin{cases}\widehat{E} = \widehat{D} = 90^\circ\\\widehat{EHB} = \widehat{DHC}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó: $ΔEHB \backsim ΔDHC\, (g.g)$

b) Ta có:

$ΔEHB \backsim ΔDHC$ (câu a)

$\Rightarrow \dfrac{HE}{HD} = \dfrac{HB}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{HE}{HB} = \dfrac{HD}{HC}$

Xét $ΔHED$ và $ΔHBC$ có:

$\begin{cases} \dfrac{HE}{HB} = \dfrac{HD}{HC}\quad (cmt)\\\widehat{EHD} = \widehat{BHC}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó: $ΔHED\backsim ΔHBC\, (c.g.c)$

c) Xét $ΔABD$ và $ΔACE$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{D} = \widehat{E} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $ΔABD \backsim ΔACE\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$

Xét $ΔADE$ và $ΔABC$ có:

$\begin{cases} \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB}\quad (cmt)\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó: $ΔADE\backsim ΔABC\, (c.g.c)$

d) Từ $A$ kẻ đường cao $AF\, (F\in BC)$

Xét $ΔBHF$ và $ΔBCD$ có:

$\begin{cases}\widehat{B}:\ \text{góc chung}\\\widehat{F} = \widehat{D} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $ΔBHF\backsim ΔBCD\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{BF}{BD}$

$\Rightarrow BH.BD = BC.BF\qquad (1)$

Xét $ΔCHF$ và $ΔCBE$ có:

$\begin{cases}\widehat{C}:\ \text{góc chung}\\\widehat{F} = \widehat{E} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $ΔCHF\backsim ΔCBE\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{CH}{BC} = \dfrac{CF}{CE}$

$\Rightarrow CH.CE = BC.CF\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow BH.BD + CH.CE = BC.BF + BC.CF$

$\Leftrightarrow BH.BD + CH.CE = BC(BF + CF) = BC^2$