Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{12^2+9^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{225}$

$\Rightarrow BC=15(cm)$.

$9<12<15\Rightarrow AC<AB<BC$

$\Rightarrow\widehat{ABC}<\widehat{ACB}<\widehat{BAC}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

b) $C$ là trung điểm của $AD\Rightarrow AC=CD$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ACE$ và $\Delta CDE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AC=CD\,\rm(cmt)\\\widehat{ACE}=\widehat{DCE}=90^\circ\\CE\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta ACE=\Delta CDE$ (c-g-c).

$\Rightarrow AE=DE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta EAD$ cân.

c) $\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow AB\,\bot\,AC$

$C$ kẻ đường vuông góc $AD$ cắt $BD$ tại $E\Rightarrow CE\,\bot\,AC$.

$AB\,\bot\,AC,CE\,\bot\,AC\Rightarrow CE//AB$ (cặp góc vuông đồng vị).

$\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{BAE}$ (cặp góc so le trong).

$\Rightarrow \widehat{DEC}=\widehat{ABE}$ (cặp góc đồng vị).

$\Delta ACE=\Delta CDE\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AEC}=\widehat{BAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{DEC}$

Mà $\widehat{DEC}=\widehat{ABE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{ABE}$

$\Rightarrow\Delta ABE$ cân $\Rightarrow AE=BE$ mà $AE=DE$

Nên $BE=DE\Rightarrow E$ là trung điểm của $BD$.

d) $E$ là trung điểm của $BD$

$\Rightarrow AE$ là đường trung tuyến của $\Delta ABD$.

$C$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow BC$ là đường trung tuyến của $\Delta ABD$

$\Rightarrow AE\cap BC=G\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABD$
$\Rightarrow BG=\dfrac23BC=\dfrac23\!\cdot\!15=10(cm)$
Vậy $BG=10cm$.

`a) @` Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$ ta có $:$

$BC^2 = AB^2 + AC^2 ($ Định lý Pitago $)$

Hay $BC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

`=> BC = 15 ( BC > 0 )`

Vậy `BC = 15cm`

`@` Xét $\triangle$ $ABC$ ta có $:$

`AC < AB < BC ( 9 < 12 < 15 )`

`=>` $\widehat{ABC}$ $<$ $\widehat{ACB}$ $<$ $\widehat{BAC}$ $($ Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện $)$

`b)` Xét $\triangle$  $ECA$ và $\triangle$  $ECD$ ta có $:$

$\widehat{ECA}$ $=$ $\widehat{ECD}$ $= 90^o ($ vì $EC$ $\bot$ $AD )$

$EC$ chung

$CA = CD ( gt )$

`=>` $\triangle$  $ECA$ $=$ $\triangle$  $ECD ( cgv - cgv )$

`=> EA = ED ( 2` cạnh tương ứng $)$

`=>` $\triangle$ $EAD$ cân tại $E ( dhnb )$

Ta có $: AB$ $\bot$ $AD ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A )$

$EC$ $\bot$ $AD ( gt )$

`=>` $AB // EC ($ Quan hệ từ $\bot$ `=>` $// )$

`=>` $\widehat{E2}$ $=$ $\widehat{ABE}$ $( 2$ góc đồng vị $)$

Mà $\widehat{E2}$ $=$ $\widehat{E1}$ $($ vì $\triangle$  $ECA$ $=$ $\triangle$  $ECD )$

`=>` $\widehat{E1}$ $=$ $\widehat{ABE}$ 

Vì $\widehat{E1}$ $=$ $\widehat{A1}$ $( AB // EC$ `=> 2` góc sole trong $)$

`=>`  $\widehat{ABE}$ $=$ $\widehat{A1}$ $($ $=$ $\widehat{E1}$ $)$

`=>` $\triangle$  $ABE$ cân tại $E ( dhnb )$

`=> EB = EA`

Mà $EA = ED ( cmt )$

`=> EB = ED ( = EA )`

`=> E` là trung điểm của $BD$
`d)` 

Vì `CA = CD ( gt )`

`=> C` là trung điểm của $AD$

Xét $\triangle$ $ABD$ ta có $:$

$BC$ là trung tuyến $( C$ là trung điểm của $AD )$

$AE$ là trung tuyến $( E$ là trung điểm của $BD )$

Mà $BC$ $\cap$ $AE =$ `{G}`

`=> G` là trọng tâm của $\triangle$ $ABD$

`=> BG = 2/3BC (` tính chất trọng tâm $)$

Hay `BG = 2/3 . 15`

`=> BG = 10`

Vậy `BG = 10cm`