Điều kiện xác định $x\ne 0$

Ta có: $3x^2\ge 0$ và

$x^2-8x+32=(x^2-8x+16)+16=(x-4)^2+16\ge 16>0$ nên ta được:

$\dfrac{1}{3x^2}>0$ và $\dfrac{1}{x^2-8x+32}>0$ nên ta áp dụng bất đẳng thức $C-B-S$ dạng Engel có dạng như sau:

$\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}$ 
(Cách chứng minh bạn tự tìm hiểu)

Áp dụng vào bài ta được:

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 8x + 32}} = \dfrac{{{1^2}}}{{3{x^2}}} + \dfrac{{{1^2}}}{{{x^2} - 8x + 32}}\\  \ge \dfrac{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{{3{x^2} + {x^2} - 8x + 32}} = \dfrac{4}{{4{x^2} - 8x + 32}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x + 8}} \end{array}$

Mà theo đề bài: 

$\dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 8x + 32}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x + 8}}$

Nên dấu bằng đã xảy ra. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{1}{3x^2}=\dfrac{1}{x^2-8x+32}\Rightarrow x^2-8x+32=3x^2\Rightarrow 2x^2+8x-32=0\Rightarrow x^2+4x-16=0$

$\begin{array}{l} \Delta ' = b{'^2} - ac = 4 + 16 = 20 \to \sqrt {\Delta '}  = 2\sqrt 5 \\  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 2 + 2\sqrt 5 \\ x =  - 2 - 2\sqrt 5  \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x=-2+2\sqrt 5$ hoặc $x=-2-2\sqrt 5$ là nghiệm của phương trình.