Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A`

`=> BC^2=AB^2+AC^2=15^2+20^2=625`

`=> BC=25cm`

`ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`

`=> AB⊥AC; AH⊥BC`

Xét `ΔACH` và `ΔBCA` có:

`\hat{AHC}=\hat{BAC}=90^0 (AH⊥BC; AB⊥AC)`

`\hat{ACH}=\hat{BCA}`

`=>` $ΔACH\backsimΔBCA$ (g.g)

`=> \frac{AC}{BC}=\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{AC}`

`=> AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{15.20}{25}=12cm`

      `CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{20^2}{25}=16cm`

b) $ΔACH\backsimΔBCA$ `=> \hat{HAC}=\hat{CBA}`

Xét tứ giác `AEHF` có:

`\hat{EAF}=\hat{AEH}=\hat{AFH}=90^0 (AB⊥AC; HE⊥AB; HF⊥AC)`

`=> AEHF` là hình chữ nhật 

`=> \hat{HFA}=\hat{EAF}=90^0; HF=AE`

Xét `ΔAEF` và `ΔFHA` có:

`\hat{EAF}=\hat{HFA}=90^0`

`HF=AE`

`AF`: cạnh chung

`=> ΔAEF=ΔFHA` (c.g.c) `=> \hat{EFA}=\hat{HAC}`

mà `\hat{HAC}=\hat{CBA} => \hat{EFA}=\hat{CBA}`

Xét `ΔAFE` và `ΔABC` có:

`\hat{EFA}=\hat{CBA}`

`\hat{FAE}=\hat{BAC}`

`=>` $ΔAFE\backsimΔABC$ (g.g) 

c) $ΔAFE\backsimΔABC$ `=> \hat{AEF}=\hat{ACB}`

mà `\hat{AEF}=\hat{MEB}` (đối đỉnh)

`=> \hat{MEB}=\hat{ACB}` hay `\hat{MEB}=\hat{MCF}`

Xét `ΔMEB` và `ΔMCF` có:

`\hat{MEB}=\hat{MCF}`

`\hat{EMB}=\hat{CMF}`

`=>` $ΔMEB\backsimΔMCF$ (g.g)

`=> \frac{ME}{MC}=\frac{MB}{MF} => MB.MC=ME.MF`

d) Xét `ΔABC` vuông tại `A` có:

`AK` là đường trung tuyến (`K` là trung điểm của `BC)`

`=> AK=1/2 BC = KB=KC`

`=> ΔAKC` cân tại `K => \hat{KAC}=\hat{ACK}`

mà `\hat{ACK}=\hat{AEF} (\hat{ACB}=\hat{AEF})`

      `\hat{AEF}+\hat{EFA}=90^0 (ΔAEF` vuông tại `A)`

`=> \hat{KAC}+\hat{EFA}=90^0`

Gọi `I` là giao điểm của `AK` và `EF `

`=> \hat{IAF}+\hat{IFA}=90^0`

mà trong `ΔIAF` có: `\hat{IAF}+\hat{IFA}+\hat{AIF}=180^0`

`=> \hat{AIIF}=90^0 => AI⊥IF `

`=> AK⊥EF`