`@` $GT :$ `\triangle` $ABC$ vuông cân tại $A$

                 `AM in` trung tuyến của `\triangle` $ABC$

                 `E in BC`

                  `BH` $\bot$ `AE ( H in AE )`

                  `CK` $\bot$ `AE ( K in AE )`

 `@ KL :`  $\triangle$ $MHK$  vuông cân          

$______________________$      

`@` Xét $\triangle$ $ABH$ vuông tại $H ($ $BH$ $\bot$ $AE )$ ta có $:$

$\widehat{ABH}$ $+$ $\widehat{BAH}$ $= 90^o ( 2$ góc nhọn phụ nhau $)$

Mà $\widehat{CAK}$ $+$ $\widehat{BAH}$ $= 90^o$

`=>` $\widehat{ABH}$ $=$ $\widehat{CAK} ( + 90^o$ $\widehat{BAH}$ $)$

`@` Xét $\triangle$ $ABH$ và $\triangle$ $CAK$ ta có $:$

$\widehat{BHA}$ $=$ $\widehat{CKA}$ $($ vì $BH$ $\bot$ $AE ; CK$ $\bot$ $AE )$

$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A )$

$\widehat{ABH}$ $=$ $\widehat{CAK} ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $CAK ( ch - gn )$

`@` Xét $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A$ và đường trung tuyến $AM$ ta có $:$

`=>` $\begin{cases} AM = \dfrac{1}{2}BC\\MA = BM = MC \end{cases}$ $($ Trung tuyến ứng với cạnh huyền $)$

Vì $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A ( gt )$

Mà $AM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

`=> AM` đồng thời là đường cao của $\triangle$ $ABC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

`=> AM` $\bot$ $BC$

`@` Xét $\triangle$  $AMB$ ta có $:$

$\widehat{AMB}$ $= 90^o$ `( AM` $\bot$ $BC )$

$MA = MB ( cmt )$

`=>`$\triangle$  $AMB$ vuông cân tại $M ( dhnb )$

`@` Xét $\triangle$  $AMC$ ta có $:$

$\widehat{AMC}$ $= 90^o$ `( AM` $\bot$ $BC )$

$MA = MC ( cmt )$

`=>`$\triangle$  $AMC$ vuông cân tại $M ( dhnb )$

`@` Vì $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A ( gt )$

Mà $AM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

`=> AM` đồng thời là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ $($ tính chất $\triangle$ cân $)$

`=>` $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{MAC}$ $=$ `1/2` $\widehat{BAC}$

`=>` $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{MAC}$ `= 1/2 . 90^o = 45^o`

`@` Vì $\triangle$ $ABC$ vuông  cân tại $A ( gt )$

`=>` $\widehat{C1}$ $= 45^o ($ tính chất $\triangle$ vuông cân $)$

`@` Ta có $:$ $\widehat{A1}$ $+$ $\widehat{A2} =$ $\widehat{BAK}$

Hay `45^o` $+$ $\widehat{A2} =$ $\widehat{BAK}$

`@` $\widehat{C1}$ $+$ $\widehat{C2}$ $=$ $\widehat{ACK}$

Hay `45^o +` $\widehat{C2}$ $=$ $\widehat{ACK}$

Mà $\widehat{BAK}$ $=$  $\widehat{ACK} ($ vì $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $CAK )$

`=>` $\widehat{A2} =$ $\widehat{C2}$ 

Vì $AM$ $\bot$ $BC ( cmt )$

`=>` $\widehat{AMC}$ $= 90^o$

`@` Ta có $:$ $\widehat{M1}$ $+$ $\widehat{M2}$ $= 90^o$

$\widehat{M3}$ $+$ $\widehat{M2}$ $= 90^o$

`=>` $\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M3}$ $( + 90^o$ $\widehat{M2}$ $)$

`@` Xét $\triangle$ $MAH$ và $\triangle$ $MCK$ ta có $:$

$\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M3} ( cmt )$

$MA = MC ( cmt )$

$\widehat{A2} =$ $\widehat{C2} ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $MAH$ $=$ $\triangle$ $MCK ( g - c - g )$

`@` Ta có $:$ $\widehat{M1}$ $+$ $\widehat{M2}$ $= 90^o$

Mà $\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M3}$ $( cmt )$

`=>`  $\widehat{M3}$ $+$ $\widehat{M2}$ $= 90^o$

`=>` $\widehat{HMK}$ $= 90^o$

`@` Xét  $\triangle$ $MHK$ ta có $:$

$\widehat{HMK}$ $= 90^o ( cmt )$

$MH = MK ($ vì $\triangle$ $MAH$ $=$ $\triangle$ $MCK )$

`=>` $\triangle$ $MHK$  vuông cân tại $M ( dhnb )$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `GT`    `\triangle ABC` vuông cân tại `A` 

            Trung tuyến `AM`

               `E in BC `

               `CK bot AE ; CK bot AE`    `( H ; K in AE ) `

`KL`      `\triangle MHK` vuông cân 

`---------`

Chứng minh : 

Có : `CK bot AE ` ( gt)  `=>` `hat{AKC} =90^o`

       `BH bot AE` ( gt) `=>`  `hat{AHB} = hat{BHK} = 90^o`

`\triangle ACK` có : ` hat{KAC} + hat{KCA} = 90^o`    ( định lí tổng `2` góc nhọn trong tam giác vuông) `(1)` 

Có : `\triangle ABC` vuông cân tại `A`  ( gt) 

`=>` `hat{ABC} = hat{ABC} = 45^o`

        `AB = AC ` 

        `hat{BAC} = 90^o`  `=>` `hat{BAK} + hat{KAC} =90^o                  `(2)`

Từ `(1) ; (2)`

`=>` `hat{KAC} = hat{BAK}`                       `(3)`

Xét `\triangle BAH` và `\triangle ACK` có : 

`+)` `hat{CKA} = hat{AHB} = 90^o `

`+)` `AB = AC ` ( gt) 

`+)` `hat{KCA} = hat{BAK} ` hay `hat{KCA} = hat{BAH} `

`=>` `\triangle BAH=` `\triangle ACK `  ( ch - gn) 

`=>` `AH = CK ` ( `2` cạnh tương ứng ) 

Có : Trung tuyến `AM`  `(gt)      

`=>` `MC = MB`

`\triangle ABC` vuông cân tại `A`  ( gt) 

      Trung tuyến `AM`  `(gt)      

`=>`   `AM` đồng thời là đường cao của `\triangle ABC`  

`=> ` `AM bot BC` 

`=>` `hat{AMB} = hat{AMC}=90^o`

`\triangle AMB` có : `hat{ABM} + hat{BAM} = 90^o` ( định lí tổng `2` góc nhọn trong tam giác vuông)

mà `hat{ABM} = 45^o` ( cmt ) 

`=>` `hat{BAM} = 45^o` 

`=>` `\triangle AMB` vuông cân tại `M`

`=>` `BM = AM `

Mà `MC = MB ` ( cmt ) 

`=>` `AM = MC ` 

Mà `hat{AMC} = 90^o ` (cmt) 

`=>` `\triangle AMC` vuông cân tại `M` 

`=>` `hat{MAC} = 45^o `

Ta có : 

`{:(hat{BAM} + hat{MAH} = hat{BAK}),(hat{BAK} + hat{MCA} = hat{ACK}):}}=>``{:(hat{MAH} = hat{BAK} - hat{BAM}),(hat{MCK} = hat{ACK} - hat{BCA}):}}=>``{:(hat{MAH} = hat{BAK} - 45^o),(hat{MCK} = hat{ACK} - 45^o):} }(4)`

Từ `(3) ; (4)`

`=>` `hat{MAH} = hat{MCK}`

Xét `\triangle AMH` và `\triangle MCK` có : 

`+)` `hat{MAH } = hat{MCK} ` ( cmt)

`+)` `AH = CK` ( cmt) 

`+)` `AM = MC` ( cmt)

`=>` `\triangle AMH = ``\triangle CMK ` ( c.g.c) 

`=>` `hat{AMH} = hat{CMK} ` ( `2` góc tương ứng )

      `MH = MK ` ( `2` cạnh tương ứng )           `(5)`

Có : `hat{AMH } + hat{HMC} = hat{AMC} = 90^o`

        mà `hat{AMH} = hat{CMK}` ( cmt) 

`=>` `hat{CMK} + hat{HMC} = 90^o`

`=>` `hat{HMK} = 90^o`                         `(6)`

Từ `(5)` và `(6)`

`=>` `\triangle HMK` vuông cân tại `M` ( đpcm)