Trên tia đối của tia $MA$ lấy $N$ sao cho $AM=NM$

Xét $∆ABM$ và $∆NCM$ có:

`\qquad BM=CM` (do $M$ là trung điểm $BC$)

`\qquad \hat{AMB}=\hat{NMC}` (hai góc đối đỉnh)

`\qquad AM=NM`

`=>∆ABM=∆NCM` (c-g-c)

`=>AB=NC` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

Ta có:

`\qquad AN=AM+NM=AM+AM=2AM`

Xét $∆ACN$ có:

`\qquad AN<NC+AC` (bất đẳng thức tam giác)

`=>2AM<AB+AC`

`=>AM<{AB+AC}/2`

Đáp án + giải thích bước giải :

Lấy `H ∈` tia đối của `AM, AM = HM`

Xét `ΔAMB` và `ΔHMC` có :

`AM = HM (GT)`

`BM = MC` (Vì `M` là trung điểm của `BC`)

`hat{AMB} = hat{HMC}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔAMB = ΔHMC (c.g.c)`

`-> AB = HC` (2 cạnh tương ứng)

Ta có : `AH = AM + HM`

mà `AM = HM`

`-> AH = AM + AM`

`-> AH  =2AM `

Áp dụng BĐT trong `Δ` cho `ΔAHC` có :

`AH < HC + AC`

mà `AH = 2AM, AB = HC`

`-> 2AM < AB + AC`

`-> AM < (AB + AC)/2`