Đáp án:

(*) giải bài này xong mệt xỉu ;-;;

________________________________

`a,`

Xét tứ giác `AMDN` có:

`{:(hat(A) = 90^0(g t)),(hat(DMA) = 90^0(DM⊥AB)),(hat(DNC) = 90^0(DN⊥AC)):}} =>` `AMDC` là hình chữ nhật `(dhnb)`

Lại có: `AD` là phân giác của `hat(BAC)` $(gt)$

 `=>` `AMDN` là hình vuông

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`b,`

`+,` Chứng minh: `\triangle` `MBD` $\backsim$ `\triangle` `NDC`

Có: $DN//BA$ `(⊥ AC)`

`=>` `hat(NDC) = hat(MBD)` (đồng vị)

Xét `\triangle` `MBD` và `\triangle` `NDC` có:

`hat(DMB) = hat(DNC) = 90^0`

`hat(NDC) = hat(MBD)` `(cmt)`

`=>` `\triangle` `MBD` $\backsim$ `\triangle` `NDC` `(g.g)`

$\\$

`+,` `2BM.CN = AD^2`

Có: `\triangle` `MBD` $\backsim$ `\triangle` `NDC` `(cmt)`

`=>` `(MB)/(ND) = (MD)/(CN)` (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

`=>` `(MB)/(MD) = (DN)/(CN)`

`=>` `MB.CN = MD/DN`

Do: `AMDN` là hình vuông (cm câu `a,`)

`=>` `AM = AN = ND = MD`

`=>` `MB.CN = MD^2`

`=>` `2BM.CN = 2MD^2`

`=>` `2BM.CN = MD^2 + MA^2`

Xét `\triangle` `AMD` có `hat(A) = 90^0`

`=> AD^2 = MA^2 + MD^2` (định lý Pytago)

`=> 2BM.CN = AD^2`

Vậy `2BM.CN = AD^2`

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`c,`

`+,` Chứng minh: `\triangle` `FNA` $\backsim$ `\triangle` `NAB`

Xét `\triangle` `CAM` có: $FN//MA$ `(⊥ AC)`

`=>` `(NF)/(AM) = (NC)/(AC)` (hệ quả định lý Talet)

mà: `AM = AN` (cm câu `c,`)

`=>` `(NF)/(AN) = (NC)/(AC)`

Xét `\triangle` `CAB` có: $DN//BM$ `(⊥ AC)`

`=>` `(ND)/(AB) = (NC)/(AC` (hệ quả định lý Talet)

mà: `ND = AN` (cm câu `c,`)

`=>` `(AN)/(AB) = (NC)/(AC)`

`=>` `(NF)/(AN) = (AN)/(AB)`

Xét `\triangle` `FNA` và `\triangle` `NAB` có:

`hat(FNA) = hat(NAB) = 90^0`

`(NF)/(AN) = (AN)/(AB)` `(cmt)`

`=>` `\triangle` `FNA` $\backsim$ `\triangle` `NAB` `(c.g.c)`

$\\$

`+,` `K` là trực tâm `\triangle` `AEF`

Do: `\triangle` `FNA` $\backsim$ `\triangle` `NAB` `(cmt)`

`=>` `hat(FNA) = hat(ABN)` `(2` góc tương ứng `)`

mà: `hat(FAN) + hat(FAD) = 90^0`

`=>` `hat(ABN) + hat(FAD) = 90^0`

`=> BN ⊥ AF`

hay: `EK ⊥ AF`

Cmtt `=> FF ⊥ AE`

Xét `\triangle` `AEF` có: `{:(EK⊥AF),(FK⊥AE):}} ⇒ K` là trực tâm `\triangle` `AEF` 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`d,`

Xét `\triangle` `CNB` $DE//CN$

`=>` `(DE)/(CN) = (DB)/(BC)` (hệ quả định lý Talet)

Xét `\triangle` `ABC` $DM//AC$

`=>` `(DM)/(AC) = (DB)/(BC)` (hệ quả định lý Talet)

`=>` `(DE)/(CN) = (DM)/(AC)`

Xét `\triangle` `CAM` có: $NF//AM$

`=>` `(CF)/(CM) = (CN)/(CA)` (hệ quả định lý Talet)

`=>` `(CF)/(CM) = (DE)/(CN)`

`=>` $EF//BC$

Có: `K` là trực tâm `\triangle` `AEF` `(cmt); K in AI`

`=>` `AI ⊥ EF`

`=>` `AI ⊥ BC`

Kéo dài `AI` cắt `BC` tại `H` 

`=>` `AH ⊥ BC`

Xét `\triangle` `DIH` có: `hat(H)  = 90^0`

`=>` `hat(IDH) + hat(DIH) = 90^0`

Xét `\triangle` `AIM` có: `hat(M)  = 90^0`

`=>` `hat(IAM) + hat(AIM) = 90^0`

mà: `hat(DIH) = hat(AIM)` (đối đỉnh)

`=>` `hat(IDH) = hat(IAM)`

Xét `\triangle` `AIM` và `\triangle` `DBM` có:

`hat(AMI) = hat(DMB) = 90^0`

`hat(IDH) = hat(IAM)` `(cmt)`

`=>` `\triangle` `AIM` $\backsim$ `\triangle` `DBM` `(g.g)`

`=>` `(AM)/(DM) = (IM)/(BM)` (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

`=>` `(AM)/(AM) = (IM)/(BM)` 

`=>` `1 = (IM)/(BM)` 

`=>` `IM = BM`

`=>` `\triangle` `BIM` vuông cân tại `M`

`=>` `hat(MIB) = 45^0`

Ta có: `hat(MIB) + hat(BID) = 180^0` `(2` góc kề bù `)`

Thay số: `45^0 + hat(BID) = 180^0` 

`=>` `hat(BID) = 180^0 - 45^0`

`=>` `hat(BID) = 135^0`

Vậy `hat(BID) = 135^0`

`#dariana`