`a)` Ta có:

`\hat{BAE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BE}` (góc nội tiếp chắn cung $BE$)

`\hat{DFE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DE}` (góc nội tiếp chắn cung $DE$)

Mà `\stackrel\frown{BE}=\stackrel\frown{DE}` (do $E$ là điểm chính giữa cung $DB$)

`=>\hat{BAE}=\hat{DFE}`

`=>\hat{CAG}=\hat{CFG}`

`=>AGCF` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $A;F$ cùng nhìn cạnh $CG$ dưới hai góc bằng nhau)

$\\$

`b)` $AGCF$ nội tiếp (câu a)

`=>\hat{CGF}=\hat{CAF}` (cùng chắn cung $CF$)

Mà `\hat{CAF}=\hat{BDF}` (cùng chắn cung $BF$) của $(O)$)

`=>\hat{CGF}=\hat{BDF}`

Vì `\hat{CGF};\hat{BDF}` ở vị trí đồng vị

`=>CG`//$BD$ $(1)$

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AD`$\perp BD$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>CG`$\perp AD$

$\\$

`c)` Gọi $I$ là giao điểm của $DF$ và $AB$

Xét $∆IDB$ có $CG$//$BD$ 

`=>{GD}/{GI}={CB}/{CI}` (định lý Talet) $(3)$

$\\$

Xét $∆CHI$ và $∆ADI$ có:

`\hat{CIH}=\hat{AID}` (đối đỉnh)

`\hat{CHI}=\hat{ADI}` (so le trong do $CH$//$AD$)

`=>∆CHI∽∆ADI` (g-g)

`=>{CH}/{CI}={AD}/{AI}` $(4)$

$\\$

Ta có:

`\hat{DAG}=1/ 2sđ\stackrel\frown{DE}` (góc nội tiếp chắn cung $DE$)

`\hat{GAI}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BE}` (góc nội tiếp chắn cung $BE$)

Mà `\stackrel\frown{BE}=\stackrel\frown{DE}` (do $E$ là điểm chính giữa cung $DB$)

`=>\hat{DAG}=\hat{GAI}`

Do tia $AG$ nằm giữa hai tia $AD$ và $AI$

`=>AG` là phân giác của `\hat{DAI}`

`=>{GD}/{GI}={AD}/{AI}` $(5)$

$\\$

Từ `(3);(4);(5)=>{CH}/{CI}={CB}/{CI}`

`=>CH=CB`