Lời giải:

a)

Vì `\DeltaABC` vuông tại `C`

`=>AB^2=BC^2+CA^2` (Định lý Pytago)

Hay: `AB^2=3^2+4^2`

`=>AB^2=9+16`

`=>AB^2=25`

`=>AB=\sqrt{25}=5(cm)`

Vậy `AB=5cm`

b)

Xét `\DeltaCBK` vuông tại `C` và `\DeltaEBK` vuông tại `E` có:

`BK`: Cạnh chung

`\hat{CBK}=\hat{EBK}` (Vì `BK` là phân giác của `\hat{ABC}`)

`=>\DeltaCBK=\DeltaEBK(ch-gn)`

`=>BC=BE` (`2` cạnh tương ứng)

Vậy `BC=BE`

c)

Xét `\DeltaMCK` vuông tại `C` có: `KC<KM` (Vì `KM` là cạnh huyền)

Mà: `KC=KE` (Vì `\DeltaCBK=\DeltaEBK(cmt)`)

`=>KE<KM`

Vậy `KE<KM`

d)

Ta có: `BC=BE(cmt)`

`=>\DeltaBCE` cân tại `B`

`=>\hat{BCE}=(180^o -\hat{MBA})/2(1)`

Xét `\DeltaCBA` và `\DeltaEBM` có:

`\hat{MBA}`: Góc chung

`BC=BE(cmt)`

`\hat{BCA}=\hat{BEM}=90^o`

`=>\DeltaCBA=\DeltaEBM(g.c.g)`

`=>BA=BM` (`2` cạnh tương ứng)

`=>\DeltaBAM` cân tại `B`

`=>\hat{BMA}=(180^o -\hat{MBA})/2(2)`

Từ `(1),(2)=>\hat{BCE}=\hat{BMA}(=(180^o -\hat{MBA})/2)`

Mà: `\hat{BCE}` và `\hat{BMA}` ở vị trí đồng vị nên `CE////MA`

Vậy `CE////MA`

`GT` `\triangle ABC` có `hat{C} = 90^o` 

      `BC = 3(cm) ; CA= 4 (cm)`

         `BK` là phân giác của `hat{ABC}`

          `KE bot AB `

         `BC nn EK = {M}`

`KL`   `AB = ?`       

        `  BC = BE `

           So sánh `KM` và `KE`

             $CE // MA$

`--------`

Chứng minh : 

`a)` Có : `\triangle ABC` có `hat{C} = 90^o` ( gt) 

`=>`  `\triangle ABC` vuông tại `C`

Áp dụng định lí Py - ta - go vào `\triangle ABC` vuông tại `C` ta được : 

   `BC^2 + CA^2 = AB^2`

`=>` `AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25`

`=>` `AB = sqrt{25} = 5(cm)`

`b)` Có : `KE bot AB ` ( gt) 

`=>` `hat{KEB} = hat{KEA} = 90^o`

Có :  `BK` là phân giác của `hat{ABC}`

`=>` `hat {B_1} = hat{B_2}` 

Xét `\triangle BCK` và `\triangle BKE` có : 

`+)` `hat {B_1} = hat{B_2}` ( cmt)

`+)` `hat{KEB} = hat{BCK} = 90^o` (cmt)

`+)` `BK` là cạnh chung 

`=>` `\triangle BCK = \triangle BEK` ( ch - gn ) 

`=>` `BC  = BE` ( `2` cạnh tương ứng ) 

`c)`  Có : `\triangle BCK = \triangle BEK` ( cmt) 

`=>` `KC = KE ` ( `2` cạnh tương ứng ) 

Có : `hat{KEA} = 90^o` ( cmt) 

`=>` `\triangle KEA` vuông tại `E`

`=>` `AK > KE ` ( ch `>` cgv ) ( định lí quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong `1` tam giác ) `(1)`

Có `hat{KCM} + hat{BCK} = 180^o `( kề bù )

Mà `hat{BCK} = 90^o` ( cmt) 

`=>` `hat{KCM} = 90^o`

Xét `\triangle MCK` và `\triangle AKE` có : 

`+)` `hat {K_1} = hat{K_2}` ( đối đỉnh )

`+)` `hat{KCM} = hat{KEA} = 90^o` (cmt)

`+)` `CK = KE` ( cmt)

`=>` `\triangle MCK = \triangle AEK` ( ch - gn ) 

`=>` `MK = AK` ( `2` cạnh tương ứng )              `(2)`

Từ `(1) ; (2)`

`=>` `MK > KE `

`d)` Có : `\triangle MCK = \triangle AEK` ( cmt) 

`=>` `MC = AE `

mà `BC = BE` ( cmt) 

`=>` `BC + BC = BE + AE `

`=>` `BM = AB `

`=>` `\triangle ABM` cân tại `B`

`=>` `hat{BMA} = {180^o - hat{B} }/2 `                        `(3)`

Có : `BE = BC ` ( cmt) 

`=>` `\triangle BCE` cân tại `B`

`=>` `hat{BCE} = {180^o - hat{B} }/2 `                        `(4)`

Từ `(3) ; (4) `

`=>` `hat{BCE}=hat{BMA}`

Mà `hat{BCE}`  và ` hat{BMA}` là `2` góc đồng vị 

`=>` $ AM // CE$ ( đpcm)