Giải thích các bước giải:

Ta có:

$m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4m - 1 = 0$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \Delta ' = {\left( { - \left( {m - 1} \right)} \right)^2} - m\left( {4m - 1} \right)\\
 \Rightarrow \Delta ' =  - 3{m^2} - m + 1
\end{array}$

a) PHương trình có 2 nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
 - 3{m^2} - m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
3{m^2} + m - 1 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} \le m \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \in \left[ {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};\dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}
\end{array}$

Vậy $m \in \left[ {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};\dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$

b) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Vậy $m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)$ thỏa mãn.

c) Phương trình có các nghiệm dương

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta ' \ge 0\\
\dfrac{{m - 1}}{m} > 0\\
\dfrac{{4m - 1}}{m} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
 - 3{m^2} - m + 1 \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \dfrac{1}{4}\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} \le m \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} \le m < 0\\
 \Leftrightarrow m \in \left[ {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};0} \right)
\end{array}$

Vậy $m \in \left[ {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};0} \right)$

d) Phương trình có nghiệm âm có thể có các khả năng sau:

+) Phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất âm.

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 0\\
2x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 0\\
x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\left( {l,do:\dfrac{1}{2} > 0} \right)
\end{array}$

+) Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm trái dấu: Như câu b

$m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)$

+) Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm âm

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta ' \ge 0\\
\dfrac{{m - 1}}{m} < 0\\
\dfrac{{4m - 1}}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} \le m \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}\\
0 < m < 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \dfrac{1}{4}\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{4} < m \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}\\
\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} \le m < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \in \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};0} \right)
\end{array}$

Vậy $m \in \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};0} \right) \cup \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)$