Giải thích các bước giải:

1) Xét `(O)` có tiếp tuyến `AM; AN`

`=> OM⊥AM; ON⊥AN`

Xét tứ giác `AMON` có:

`\hat{AMO}=\hat{ANO}=90^0 (OM⊥AM; ON⊥AN)`

`=> \hat{AMO}+\hat{ANO}=180^0`

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `AMON` nội tiếp

`=> A, M, O, N` cùng thuộc một đường tròn (1)

Xét tứ giác `ABNO` có:

`\hat{ABO}=90^0; \hat{ANO}=90^0`

`=> \hat{ABO}=\hat{ANO}`

mà 2 góc này cùng nhìn cạnh `AO`

`=>` tứ giác `ABNO` nội tiếp 

`=> A; B; N; O` cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) `=> A, B, M,O, N` cùng thuộc một đường tròn

2) `A, B, M, O` cùng thuộc một đường tròn

`=>` tứ giác `ABOM` nội tiếp

`=> \hat{MAO}=\hat{MBO}` (cùng chắn cung `OM)`

Tứ giác `ABNO` nội tiếp

`=> \hat{NBO}=\hat{NAO}` (cùng chắn cung `ON)`

`(O)` có `AM; AN` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `A`

`=> AO` là tia phân giác của `\hat{MAN}`

`=> \hat{MAO}=\hat{NAO}`

mà `\hat{MAO}=\hat{MBO}; \hat{NAO}=\hat{NBO}`

`=> \hat{MBO}=\hat{NBO}` hay `\hat{KBD}=\hat{NBD}`

`=> BD` là phân giác `\hat{BKN}`

3) `BD` là phân giác của `\hat{BKN}`

`=> \frac{DK}{DN}=\frac{BK}{BN} `

`A; B; M; N` cùng thuộc một đường tròn

`=>` tứ giác `ABNM` nội tiếp

`=> \hat{AMB}=\hat{BNA}` (cùng chắn cung `AB)`

`=> \hat{AMK}=\hat{BNK}`

Xét `ΔAMK` và  `ΔBNK` có:

`\hat{AKM}=\hat{BKN}` (đối đỉnh)

`\hat{AMK}=\hat{BNK} `

`=>` $ΔAMK\backsimΔBNK$ (g.g)

`=> \frac{AM}{BN}=\frac{AK}{BK} => \frac{AK}{AM}=\frac{BK}{BN}`

mà `\frac{DK}{DN}=\frac{BK}{BN} => \frac{AK}{AM}=\frac{DK}{DN}`

`=> DN.AK=AM.DK`

mà `AM=AN (AM; AN` là 2 tiếp tuyến cắt nhau của `(O))`

`=> DN.AK=AN.DK`

4) `ΔAOC` có: `\hat{AOB}=\hat{ACB}+\hat{CAO}`

mà `\hat{CAO}=\hat{OBN} (\hat{MAO}=\hat{MBO}=\hat{NBO})`

`ΔABC` vuông tại `B` có `BI` là đường trung tuyến 

`=>IB=1/2 AC=IC=IA`

`=> ΔBIC` cân tại I `=> \hat{ACB}=\hat{IBC} `

`=> \hat{AOB}=\hat{OBN}+\hat{IBC}=\hat{IBN}`

mà `\hat{AOB}=\hat{ANB}`

`=> \hat{IBN}=\hat{ANB} => ΔBEN` cân tại `E`