Đáp án:

$D.\, \dfrac{a^2}{8}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow MB = MC = \dfrac12BC =\dfrac a2$

$ΔABC$ vuông cân tại $A$ có $AM$ là trung tuyến

$\Rightarrow \begin{cases}MA = \dfrac12BC = \dfrac a2\\AM\perp BC\end{cases}$

Ta có: $AD\perp (BCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow \begin{cases}AD\perp BD\\AD\perp CD\\AD\perp SM\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{ADB} = \widehat{ADC} = 90^\circ$

Xét $ΔABD$ và $ΔACD$ có:

$\begin{cases}\widehat{ADB} = \widehat{ADC} = 90^\circ\quad (cmt)\\AD:\ \text{cạnh chung}\\AB = AC\quad (gt)\end{cases}$

Do đó: $ΔABD = ΔACD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD = CD$

$\Rightarrow ΔBCD$ cân tại $D$

$ΔBCD$ cân tại $D$ có $DM$ là trung tuyến

$\Rightarrow DM\perp BC$

Khi đó:

$\begin{cases}(ABC)\cap (BCD) = BC\\AM\perp BC\quad (cmt)\\DM\perp BC\quad (cmt)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((ABC);(BCD))} = \widehat{AMD} = 60^\circ$

$ΔADM$ vuông tại $D$ có:

$\cos\widehat{AMD} = \dfrac{DM}{AM}$

$\Rightarrow DM = AM.\cos\widehat{AMD} = \dfrac a2\cdot \cos60^\circ = \dfrac a4$

Ta được:

$S_{BCD} = \dfrac12BC\cdot DM = \dfrac12\cdot a\cdot \dfrac a4 = \dfrac{a^2}{8}$