a)

Xét tứ giác $BFEC$, ta có :

$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

$\to BFEC$ là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác $BFHD$, ta có:

$\widehat{BFH}=\widehat{BDH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BFH}+\widehat{BDH}=180{}^\circ $

$BFHD$ là tứ giác nội tiếp

b)

Xét tứ giác $CEHD$, ta có:

$\widehat{CEH}=\widehat{CDH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{CEH}+\widehat{CDH}=180{}^\circ $

$\to CEHD$ là tứ giác nội tiếp

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\,\,\,\left(\text{ BFHD là tứ giác nội tiếp }\right)\\\widehat{EDH}=\widehat{ECH}\,\,\,\left(\text{ CEHD là tứ giác nội tiếp }\right)\\\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\,\,\,\left(\text{ BFEC là tứ giác nội tiếp }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{FDH}=\widehat{EDH}$

$\to DH$ là tia phân giác $\widehat{EDF}$

c)

$ABMC$ nội tiếp $\left( O \right)$

$\to \widehat{DBM}=\widehat{DAC}$ ( cùng chắn cung $MC$ )

Mà $\widehat{DBH}=\widehat{DAC}$ ( cùng phụ $\widehat{ACB}$ )

$\to \widehat{DBM}=\widehat{DBH}$

$\to BD$ là phân giác $\widehat{HBM}$

$\Delta BMH$ có:

$BD$ là vừa đường cao vừa là đường phân giác

$\to \Delta BMH$ cân tại $B$