Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{AMB}=\widehat{AKB}=90^o$ 

$\to AMKB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

b.Ta có:$\widehat{HNB}=\widehat{HKB}=90^o\to HNBK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$

$\to \widehat{HKN}=\widehat{HBN}=\widehat{MBA}=\widehat{AKM}$

$\to KA$ là phân giác $\widehat{MKN}$

Kẻ $AE$ là tiếp tuyến của $(O)$ như hình vẽ $\to OA\perp AE$

$\to \widehat{EAB}=\widehat{ACB}=\widehat{MCB}=\widehat{ANM}$

$\to AE//MN$

$\to OA\perp MN$

$\to OA\perp IJ$

c.Gọi $AD$ là đường kính của $(O)\to AB\perp BD, AC\perp CD$

$\to DB//CH, CD//BH$

$\to BHCD$ là hình bình hành

$\to HD\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Do $P$ là trung điểm $BC\to P$ là trung điểm $HD$

Lại có: $O$ là trung điểm $AD$

$\to OD$ là đường trung bình $\Delta AHD\to AH=2OP$

Gọi $OA\cap MN=G, HF\perp MN$

Vì $OA\perp MN\to AG\perp MN$

$\to S_{ANHM}=S_{ANM}+S_{HMN}=\dfrac12AG\cdot MN+\dfrac12HF\cdot MN=\dfrac12(AG+HF)\cdot MN$

Gọi $AH\cap MN=L$

$\to AG\le AL, HF\le HL$

$\to AG+HF\le AL+HL=AH$

$\to S_{AMHN}\le \dfrac12AH\cdot MN$

Vì $\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^o\to AMHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH\to MN\le AH$

$\to S_{AMHN}\le \dfrac12AH\cdot AH=\dfrac12AH^2=\dfrac12\cdot (2OP)^2=2OP^2$

$\to S\le 2OP^2$