Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ACE$ và $\Delta ABD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(cmt)\\\widehat{BAC}\rm\ là\ góc\ chung\end{array}\right\}\Delta ACE=\Delta ABD$ (ch-gn).

$\Rightarrow BD=CE$ (hai cạnh tương ứng).

b) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

$\Delta ACE=\Delta ABD\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

$\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$

$\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{BCE}\Rightarrow\Delta BHC$ cân.

c) $BD\,\bot\,AC\Rightarrow BD$ là đường cao của $\Delta ABC$.

$CE\,\bot\, AB\Rightarrow CE$ là đường cao của $\Delta ABC$.

Mà $BD\cap CE=H\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AH$ đi qua trực tâm $H\Rightarrow AH\,\bot\,BC$.

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$.

$\Rightarrow AH$ đồng thời là đường trung trực của $BC$.

d) $D$ là trung điểm của $BK\Rightarrow BD=DK$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta BCD$ và $\Delta DKC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BD=DK\,\rm(cmt)\\\widehat{BDC}=\widehat{DCK}=90^\circ\\CD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta BCD=\Delta DKC$ (c-g-c)

$\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{DKC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ nên $\widehat{ECB}=\widehat{DKC}$.