`a)` `АВ=3cm;AC=4cm`

$\quad ∆ABC$ vuông tại $A$

`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)

`=>BC^2=3^2+4^2=25`

`=>BC=5cm`

$\\$

`\qquad S_{∆ABC}=1/ 2 AB.AC=1/ 2 .3.4=6cm^2`

$\\$

 $\quad AD$ là phân giác của `\hat{BAD}`

`=>{DB}/{DC}={AB}/{AC}=3/ 4`

`=>{DB}/3={DC}/4={DB+DC}/{3+4}={BC}/7=5/7`

`\qquad ` (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

`=>{DB}/3=5/7=>DB=5/7 . 3={15}/7 cm`

`\qquad {DC}/4=5/ 7 =>DC=5/ 7 .4={20}/7 cm`

$\\$

Vậy `S_{∆ABC}=6cm^2;DB={15}/7cm;DC={20}/7cm`

$\\$

`b)` $AD$ là phân giác `\hat{BAC}`

`=>\hat{BAD}=1/ 2 \hat{BAC}=1/ 2 .90°=45°`

`\qquad BE`//$AD$

`=>\hat{ABE}=\hat{BAD}=45°` (hai góc so le trong)

$\\$

$\quad ∆BAE$ vuông tại $A$ có `\hat{ABE}=45°`

`=>∆BAE` vuông cân tại $A$

`=>EA=AB=3cm`

`\qquad EC=EA+AC=3+4=7cm`

$\\$

`\qquad BE^2=EA^2+AB^2` (định lý Pytago)

`=>BE^2=3^2+3^2=18`

`=>BE=\sqrt{18}=3\sqrt{2}cm`

$\\$

Xét $∆BCE$ có $AD$//$BE$

`=>{AD}/{BE}={AC}/{EC}` (hệ quả định lý Talet)

`=>AD={AC.BE}/{EC}={4.3\sqrt{2}}/7={12\sqrt{2}}/7 cm`

$\\$

Vậy: `EA=3cm;AD={12\sqrt{2}}/7cm`

$\\$

`c)` Ta có: 

`\qquad AB`$\perp AC$ (do $∆ABC$ vuông tại $A$)

`\qquad FI`$\perp AC$ (gt)

`=>`$DI$//$AB$ 

Xét $∆ABC$ có $DI$//$AB$

`=>{IC}/{IA}={DC}/{DB}` (định lý Talet)

$\\$

Mà `{DC}/{DB}={AC}/{AB}` (do $AD$ là phân giác `\hat{BAC}`)

`=>{IC}/{IA}={AC}/{AB}`