Giải thích các bước giải:

1.Vì $M$ là trung điểm $BC\to OM\perp BC$

$\to \widehat{OMC}=\widehat{OEC}=90^o$

$\to OMEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

$\to O, M, E, C$ cùng thuộc một đường tròn

2.Vì $AK$ là đường kính của $(O)\to AC\perp KC$

$\to \widehat{ADB}=\widehat{ACK}(=90^o)$

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$

$\to \Delta ABD\sim\Delta AKC(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to AB\cdot AC=AK\cdot AD=2R\cdot AD$

Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{AEC}=90^o\to ADEC$ nội tiếp

$\to \widehat{DEA}=\widehat{ACD}=\widehat{ACB}=\widehat{AKB}$

$\to DE//BK$

3.Kẻ $KG\perp BC, G\in BC$

$\to \widehat{KGC}=\widehat{KEC}=90^o$

$\to CGEK$ nội tiếp đường tròn đường kính $CK$

$\to \widehat{EGB}=\widehat{EKC}=\widehat{AKC}=\widehat{ABC}$

$\to AB//GE, DE//BK$

Mà $AB\perp BK\to EG\perp BK\to DE\perp EG$

Vì $\Delta ABD\sim\Delta AKC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{CK}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to BD=\dfrac{AD\cdot CK}{AC}$

Xét $\Delta ADC,\Delta CGK$ có:

$\widehat{ADC}=\widehat{CGK}(=90^o)$

$\widehat{DCA}=\widehat{ACB}=90^o-\widehat{GCK}=\widehat{GKC}$

$\to \Delta DAC\sim\Delta GCK(g.g)$

$\to \dfrac{DA}{GC}=\dfrac{AC}{CK}$

$\to CG=\dfrac{AD\cdot CK}{AC}=BD$

$\to MD=MB-BD=MC-CG=MG$

$\to M$ là trung điểm $GD$

$\to ME=MD=MG$ vì $\Delta EDG$ vuông tại $E$

$\to \Delta MDE$ cân tại $M$

Ta có: $\widehat{BFG}=\widehat{BGK}=90^o$

$\to BFGK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BK$

$\to \widehat{FGB}=\widehat{FKB}=\widehat{AKB}=\widehat{ACB}\to FG//AC$

Ta có: $\widehat{FDG}=\widehat{FAB}=\widehat{KAB}=\widehat{BCK}$

$\to DF//CK$

Do $CK\perp AC\to DF\perp FG$

$\to \widehat{DFG}=\widehat{DEG}=90^o$

$\to DFGE$ nội tiếp đường tròn đường kính $DG$

$\to (DEF)$ là đường tròn đường kính $DG$

Do $M$ là trung điểm $DG$

$\to$Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ là $M$ cố định