a)

Xét $\Delta ACE$ vuông tại $C$ và $\Delta ADE$ vuông tại $D$, ta có:

$AE$ là cạnh chung

$AC=AD\,\,\left( gt \right)$

$\to \Delta ACE=\Delta ADE\,\,\left( \,ch\,-\,cgv\, \right)$

$\to \widehat{CAE}=\widehat{DAE}$

$\to AE$ là tia phân giác $\widehat{CAD}$

$\to AE$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$

b)

Sửa đề, chứng minh $AE$ là đường trung trực $CD$

Xét $\Delta ACI$ và $\Delta ADI$, ta có:

$AI$ là cạnh chung

$\widehat{CAI}=\widehat{DAI}$ ( vì $AE$ là tia phân giác $\widehat{CAD}$ )

$AC=AD\,\,\left( gt \right)$

$\to \Delta ACI=\Delta ADI\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{AIC}=\widehat{AID}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{AIC}+\widehat{AID}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

$\to \widehat{AIC}=\widehat{AID}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AI\bot CD$

$\Delta ACI=\Delta ADI\,\,\left( cmt \right)$

$\to IC=ID$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to I$ là trung điểm $CD$

Mà $AI\bot CD\,\,\left( cmt \right)$

$\to AI$ là đường trung trực của $CD$

$\to AE$ là đường trung trực của $CD$

c)

Ta thấy $\Delta ADE$ vuông tại $D$

$\to \widehat{ADI}+\widehat{IDE}=90{}^\circ $

$\to \widehat{ADI}$ phải là góc nhọn

Mà $\widehat{ADI}$ và $\widehat{CDB}$ là hai góc kề bù

Nên $\widehat{CDB}$ phải là góc tù

$\Delta CDB$ có $\widehat{CDB}$ là góc tù

$\to \widehat{CDB}\,\,>\,\,\widehat{CBD}$

$\to BC\,\,>\,\,CD$

d)

$\Delta DCB$ có:

$DM$ là đường trung tuyến

$BI$ là đường trung tuyến

$DM$ cắt $BI$ tại $G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta DCB$

$\to CG$ đi qua trung điểm $BD$

Mà $CG$ cắt $BD$ tại $K$

$\to K$ là trung điểm $DB$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: