Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AMN,\Delta BNM$ có:

$\widehat{MAN}=\widehat{MBN}(=90^o)$

Chung $MN$

$\widehat{ANM}=\widehat{ENM}=\widehat{EMN}=\widehat{BMN}$ 

$\to \Delta AMN=\Delta BNM$(cạnh huyền-góc nhọn)

b.Ta có: $MA\perp EN, NB\perp AM, MA\cap NB=I\to I$ là trực tâm $\Delta AMN$

$\to AI\perp MN$

$\to AH\perp MN$

Vì $\Delta EMN$ cân tại $E$

$\to H$ là trung điểm $MN$

$\to EH$ là trung tuyến $\Delta EMN$

c.Ta có: $MA\perp EN\to \Delta MAE$ vuông tại $A$

$\to EM^2=AE^2+AM^2$

Mà $EM=EN=EA+AN=5(cm)$

$\to 5^2=2^2+AM^2$

$\to AM^2=21$

$\to AM=\sqrt{21}$

d.Từ câu a $\to EA=EB\to \Delta EAB$ cân tại $E$

$\to \widehat{EAB}=90^o-\dfrac12\widehat{BAE}=90^o-\dfrac12\widehat{MEN}=\widehat{ENM}$

$\to AB//MN$

Trên tia đối của tia $HB$ lấy điểm $K$ sao cho $HB=HK$

Xét $\Delta HBM,\Delta HNK$ có:

$HB=HK$

$\widehat{BHM}=\widehat{KHN}$(đối đỉnh)

$HB=HK$

$\to \Delta HMB=\Delta HNK(c.g.c)$

$\to MB=NK, \widehat{HBM}=\widehat{HKN}to MB//KN$

Do $NB\perp EM\to NB\perp NK$

$\to BK^2=BN^2+NK^2=BN^2+BM^2=MN^2$

$\to BK=MN$

$\to 2HB=2HN\to \Delta HBN$ cân tại $H$

$\to \widehat{HBN}=\widehat{HNB}=\widehat{NBA}$ do $AB//MN$

$\to BN$ là phân giác $\widehat{ABH}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABH}$

Tương tự $AI$ là phân giác $\widehat{BAH}$

$\to I$ là giao ba đường phân giác $\Delta HAB$

$\to I$ cách đều ba cạnh $\Delta ABH$

Đáp án : 

Giải thích các bước giải : 

`GT `   `\triangle EMN ` cân tại `E` `( hat{E}< 90^o ) `

          Đường cao `MA ; NB ( MA nn NB = {I} ) `

          `EI nn MN = {H}`

          `AN = 3(cm); AE = 2(cm) `

  `KL`    `\triangle AMN=``\triangle BNM`

            `MA = ?cm`

            `I` cách đều `3` cạnh của `\triangle ABH`

`--------`

Chứng minh : 

`a)` Có : `\triangle EMN ` cân tại `E` ( gt) 

`=>` `ME = NE `

         `hat{EMN} = hat{MNE} = {180^o - hat{E} }/2 `           `(1)`

  Có : đường cao `NB ` ( gt )  `=>` `hat{MBN} = hat{NBE}= 90^o`

          đường cao `MA ` ( gt )  `=>` `hat{MAN} = hat{MBE} = 90^o` 

Xét `\triangle AMN` và `\triangle BNM` có : 

`+)` `hat{MBN} = hat{MAN} = 90^o ` ( cmt) 

`+)` `hat{EMN} = hat{ENM} ` ( cmt) hay `hat{BMN} = hat{MNA}` 

`+)` `MN` là cạnh chung 

`=>` `\triangle AMN=``\triangle BNM` ( ch - gn ) 

`b)` Có : Đường cao `MA` (gt)

              Đường cao `NB`   (gt)

           `MA nn NB = { I }`   ( gt) 

`=>` `I` là trực tâm của `\triangle EMN ` 

mà `\triangle EMN` cân tại `E` ( gt )

`=>` `EH` đồng thời là đường trung tuyến của `\triangle EMN`  ( tính chất tam giác cân ) 

         Và `EH` cũng là phân giác của `hat{MEN}`

`c)` Có : `EN = AE + AN `

`=>` `EN = 2 + 3 = 5(cm) `

Mà `EN = ME ` ( cmt) 

`=>` `ME = 5(cm) `

Áp dụng định lí Py - ta - go vào `\triangle MEA` vuông tại `A` ( do có `hat{MAE} = 90^o` theo cmt) 

`EA^2 + MA^2 = ME^2 `

`=> ``MA^2 = ME^2 - AE^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 `

`=>` `MA = sqrt{21} (cm) `

`d)` Có : `\triangle AMN=``\triangle BNM` ( cmt) 

`=>` `MB = AN ` ( `2` cạnh tương ứng ) 

CÓ : `ME = NE` ( cmt) 

         `MB = AN ` ( cmt) 

`=>` `ME - MB = NE - AN `

`=>` `BE = EA `

`=>` `\triangle ABE` cân tại `E `

`=>` `hat{ABE} = hat{EAB} = {180^o - hat{E} }/2 `           `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` 

`=>` `hat{ABE} = hat{EMN} `

Mà `hat{ABE} ` và `  hat{EMN} ` là `2` góc đồng  vị 

`=>` $AB // MN $ 

`=>` ` hat{BAM} = hat{AMN}` ( so le trong )                     `(3)`

         `hat{BNM} = hat{ABN} ` ( so le trong)                     `(4)`

Có : `EH` là trung tuyến của `\triangle EMN` (cmt) 

`=>` `HM = HN `

`=>` `BH` là trung tuyến của `\triangle MNB`

          `AH` là trung tuyến của `\triangle AMN`

Xét `\triangle BMN` vuông tại `B` ( do `hat{MBN} = 90^o` theo cmt)  có : 

`BH` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `MN`

`=>` `BH = HN `

`=>` `\triangle BHN` cân tại `H`

`=>` `hat{HBN} = hat{HNB}`                     `(5)`

Có : `\triangle MAN` vuông tại `A` ( do `hat{MAN} = 90^o` theo cmt)  có : 

`AH` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `MN`

`=>` `AH = HM `

`=>` `\triangle MAH` cân tại `H`

`=>` `hat{AMH} = hat{MAH}`                     `(6)`

Từ `(3)` và `(6) `

`=>` `hat{BAM} = hat{MAH}` 

`=>` `AM` là phân giác của `hat{BAH}` 

Hay `AI` là phân giác của `hat{BAH}`                        `(7)`

Từ `(4)` và `(5) `

`=>` `hat{ABN} = hat{HBN}` 

`=>` `HN` là phân giác của `hat{ABH}` 

Hay `AI` là phân giác của `hat{ABH}`                        `(8)`

Có : `AH = MH ` ( cmt) 

       `BH = HN` ( cmt) 

Mà `MH = HN` ( cmt) 

`=>` `AH = BH `

Có : `EH` cũng là phân giác của `hat{MEN}`  ( cmt) 

`=>` `hat{E_1} = hat{E_2}` 

`=>` `EH` cũng là đường phân giác của `\triangle BEA`

Mà `\triangle BEA` cân tại `E` ( cmt) 

`=>` `EI` đồng thời là đường trung trực của `BA` ( tính chất tam giác cân ) 

`=>` `IB = IA ` ( tính chất điểm thuộc đường trung trực ) 

Xét `\triangle BIH` và `\triangle HIA` có : 

`+)` `AH = BH ` ( cmt) 

`+)` `IH` là cạnh chung 

`+)` `IB = IA ` ( cmt) 

`=>` `\triangle BIA =` `\triangleAIH ` ( c.c.c)

`=>` `hat{BHI} = hat{IHA}` ( `2` góc tương ứng ) 

`=>` `HI` là phân giác của `hat{BHA}`            `(9)`

Từ `(7)` ; `(8)` ; `(9)` 

`=>` `I` là giao điểm của `3` đường phân giác trong `\triangle BAH`

`=>` `I` cách đều `3` cạnh của `\triangle BAH `