Giải

Theo đầu bài ta có: ∠M : ∠N : ∠P = 4 : 2 : 2 ⇔ $\frac{∠M}{4}$ = $\frac{∠N}{2}$ = $\frac{∠P}{2}$ 

Mà tổng ba góc của một tam giác bằng $180^{o}$ nên

∠M + ∠N + ∠P = $180^{o}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{∠M}{4}$ = $\frac{∠N}{2}$ = $\frac{∠P}{2}$ = $\frac{∠M + ∠N + ∠P}{4 + 2 + 2}$ = $\frac{180}{8}$ = $\frac{45}{2}$

Ta có: $\frac{∠N}{2}$ = $\frac{45}{2}$ ⇒ ∠N = $\frac{45}{2}$.2 ⇒ ∠N = $45^{o}$ 

Vì ΔMHN vuông tại H nên

    ∠HMN + ∠N = $90^{o}$ 

⇒ ∠HMN + $45^{o}$ = $90^{o}$ 

⇒ ∠HMN = $90^{o}$ - $45^{o}$

⇒ ∠HMN = $45^{o}$

Vì ∠HMN = ∠N (= $45^{o}$)

⇒ ΔMHN cân tại H

⇒ NH = HM

Mà NH = 7cm (gt)

⇒ HM = 7 cm

Vậy HM = 7 cm

Ta có: $ \widehat M:\widehat N:\widehat P = 4:2:2 \\ \widehat M + \widehat N + \widehat P = {180^ \circ } \\ \Rightarrow \widehat M = {90^ \circ };\widehat N = \widehat P = {45^ \circ } \\ $

$ \Rightarrow \Delta MNP \bot $ cân tại $M$

$ \Rightarrow MN = MP \\ \Rightarrow NH = \frac{{NP}}{2} \Rightarrow NP = 2.NH = 14(cm) \\ \Delta MNP \bot M \\ \Rightarrow M{P^2} + M{N^2} = N{P^2} \\ \Leftrightarrow 2.M{P^2} = {14^2} \\ \Rightarrow MP = 7\sqrt 2 \\ \Delta MHP \bot H \\ \Rightarrow M{P^2} = M{H^2} + H{P^2} \\ \Rightarrow M{H^2} = M{P^2} - H{P^2} \\ = {\left( {7\sqrt 2 } \right)^2} - {7^2} \\ = 49 \\ \Rightarrow MH = \sqrt {49} = 7(cm) \\ $